Enunciado

A alavanca de controle O A gira na faixa 0 ° ≤ θ ≤ 90 ° . Uma mola de torção interna exerce um momento de retorno na alavanca em torno do ponto O dado por M = K ( θ + π / 4 ) onde K = 500   N ⋅ m m / r a d e θ está em radianos. Determine e mostre em um gráfico em função de θ a força trativa T necessária para tornar nulo o momento resultante em torno de O . Use dois valores para d ( d = 60   m m   e   d = 160   m m ) e comente sobre os méritos relativos do projeto. Os efeitos do raio da polia em B são desprezíveis.

Passo 1

Queremos calcular o momento que a força T causa no ponto O para igualar a M . Para isso, precisamos primeiro achar a expressão das coordenadas do ponto A em função de θ e depois calcular:

M + r A × T = 0

Passo 2

Seja o eixo x orientado pra direita e o eixo y para cima, A se move num círculo de raio r = 0,04   m em torno da origem, começando em ( - r , 0 ) para θ + π / 4 = 0 e terminando em ( r , 0 ) para θ + π / 4 = π . Temos então a equação polar das coordenadas de A :

x A = - 0,04 cos ⁡ ( θ + π / 4 )

y A = 0,04 sen ⁡ ( θ + π / 4 )

Passo 3

Agora que temos o vetor r A , podemos obter o vetor r A B , e através dele achar o vetor unitário n A B que define a direção de T . Vamos chamar θ + π / 4 de α para simplificar. Temos:

r A = - 0,04 cos ⁡ ( α ) i + 0,04 sen ⁡ ( α ) j

r B = d i + 0,04 j

r A B = r B - r A = d i + 0,04 j + 0,04 cos ⁡ α i - 0,04 sen ⁡ α j

⇒ r A B = d + 0,04 cos ⁡ α i + 0,04 1 - sen ⁡ α j

O módulo de r A B é então:

r A B = d + 0,04 cos ⁡ α 2 + 0,0016 1 - sen ⁡ α 2

= d 2 + 0,08 d cos ⁡ α + 0,0016 cos 2 ⁡ α + 0,0016 - 0,0032 sen ⁡ α + 0,0016 sen 2 ⁡ α  

= d 2 + 0,0032 + 0,08 d cos ⁡ α - 0,0032 sen ⁡ α

Então achamos o valor do vetor unitário:

n A B = d + 0,04 cos ⁡ α i + 0,04 1 - sen ⁡ α j d 2 + 0,0032 + 0,08 d cos ⁡ α - 0,0032 sen ⁡ α

Passo 4

Agora já achamos nosso vetor T :

T = T n A B = d + 0,04 cos ⁡ α i + 0,04 1 - sen ⁡ α j d 2 + 0,0032 + 0,08 d cos ⁡ α - 0,0032 sen ⁡ α T

E calculamos o momento causado pela força:

r A × T = - 0,04 cos ⁡ ( α ) i + 0,04 sen ⁡ ( α ) j × T d + 0,04 cos ⁡ α i + 0,04 1 - sen ⁡ α j d 2 + 0,0032 + 0,08 d cos ⁡ α - 0,0032 sen ⁡ α

Resolvendo o produto vetorial, achamos o momento causado pela tração:

r A × T = - 0,04 0,04 cos ⁡ α + d sen ⁡ α T d 2 + 0,0032 + 0,08 d cos ⁡ α - 0,0032 sen ⁡ α k

Passo 5

Já vimos que o que queremos é que o momento causado pela tração seja cancelado pelo momento de retorno da alavanca. Então:

M = 0,5 α = 0,04 0,04 cos ⁡ α + d sen ⁡ α T d 2 + 0,0032 + 0,08 d cos ⁡ α - 0,0032 sen ⁡ α

O valor está positivo pois agora comparamos só os módulos. Isso nos leva ao valor de T :

T = 12,5 α d 2 + 0,0032 + 0,08 d cos ⁡ α - 0,0032 sen ⁡ α 0,04 cos ⁡ α + d sen ⁡ α

= 12,5 θ + π 4 d 2 + 0,0032 + 0,08 d cos ⁡ θ + π 4 - 0,0032 sen ⁡ θ + π 4 0,04 cos ⁡ θ + π 4 + d sen ⁡ θ + π 4

Mostramos aqui o gráfico para d = 60   m m e θ em radianos:

Agora o gráfico para d = 160   m m :

Resposta

T = 12,5 θ + π 4 d 2 + 0,0032 + 0,08 d cos ⁡ θ + π 4 - 0,0032 sen ⁡ θ + π 4 0,04 cos ⁡ θ + π 4 + d sen ⁡ θ + π 4

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A plataforma deve ser içada usando as três lingas mostradas. Substitua o sistema de forças que age sobre as lingas por uma força e momento de binário equivalente no ponto O . A força F 1 é vertical.
Substitua as duas forças que agem no poste por uma força e momento de binário resultante no ponto O . Expresse o resultado na forma de um vetor cartesiano.
Substitua o carregamento do sistema por uma força e momento de binário resultante equivalente agindo no ponto O .
Substitua o carregamento mostrado por uma única força resultante e especifique as coordenadas x e y de sua linha de direção.
Substitua o carregamento mostrado por uma única força resultante e especifique as coordenadas x e y de sua linha de direção.