Enunciado

A força F está direcionada de A para D e D pode se movimentar de B até C , sendo sua posição medida pela variável s . Considere a projeção de F sobre a linha E F como função de s . Em particular, determine e mostre em um gráfico em função de s / d , a fração n do módulo de F que está projetada. Observe que s / d varia de 0 até 2 2 .

Passo 1

Seja u o vetor unitário que indica a direção de F e u E F o vetor unitário que indica a direção de E F . Queremos aqui a projeção de F sobre E F , que pode ser obtida do seguinte modo

F E F = F ⋅ u E F = F u ⋅ u E F

Após calcular F E F conseguiremos achar n pela seguinte divisão:

n = F E F F = F u ⋅ u E F F = u ⋅ u E F

Passo 2

Primeiro devemos achar o vetor u . Vamos colocar os eixos coordenados dessa maneira:

O vetor n será dado pela fórmula:

u = r A D r A D

Sendo r A D o vetor que aponta de A para B e r A D seu módulo. Podemos considerar o segmento de reta B C - como a reta y = x com x indo de 0 a 2 d . Nesse caso temos então x 2 + y 2 = s o que nos leva às coordenadas do ponto D em função de s :

s 2 = x 2 + y 2 = 2 x 2 ⇒ x 2 = s 2 2 ⇒ x = y = 2 2 s

r D = 2 2 s i + 2 2 s j

Então:

r A D = r D - r A = 2 2 s i + 2 2 s j - 2 d j + d k = 2 2 s i + 2 2 s - 2 d j - d k

Passo 3

O módulo de r A D será então:

r A D = 2 2 s 2 + 2 2 s - 2 d 2 + d 2 = s 2 2 + s 2 2 - 2 2 s d + 4 d 2 + d 2

= s 2 - 2 2 s d + 5 d 2

Agora conseguimos achar u :

u = r A D r A D = 1 s 2 - 2 2 s d + 5 d 2 2 2 s i + 2 2 j s = s 2 s 2 - 4 2 s d + 10 d 2 ( i + j )

Passo 4

Vamos agora encontrar u E F . Novamente vamos fazer:

u E F = r E F r E F

r E = d k ; r F = 2 d i

⇒ r E F = r F - r E = 2 d i - d k

Agora calculamos o módulo:

r E F = 2 d 2 + d 2 = 5 d

E finalmente:

u E F = r E F r E F = 1 5 d 2 d i - d k = 2 i - k 5

Passo 5

Agora conseguimos calcular n . No primeiro passo vimos que:

n = F E F F = F u ⋅ u E F F = u ⋅ u E F

Então:

n = u ⋅ u E F = s 2 s 2 - 4 2 s d + 10 d 2 ( i + j ) ⋅ 2 i - k 5 = 2 s 5 s 2 - 2 2 s d + 5 d 2

Como queremos o resultado em função de s / d , dividimos por d em cima e em baixo:

n = 2 s d   5 s d 2 - 2 2 s d   + 5

Resposta

n = 2 s d   5 s d 2 - 2 2 s d   + 5

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