Enunciado

O anel de 5 kg desliza ao longo da barra vertical lisa. Se o anel é tirado do repouso em A, determine a sua velocidade quando ele passa pelo ponto B. A mola tem um comprimento não deformado de 200 mm.

Passo 1

Com referência definida na figura representativa, a energia potencial gravitacional do bloco nas posições (A) e (B) podem ser escritas através de:

( V g ) A = m g h A

( V g ) B = m g h B

O outro tipo de energia associada ao problema é a fornecida pela mola, isto é, potencial elástica, definida por:

( V e ) A =   k s A 2 2

( V e ) B =   k s B 2 2

A energia cinética para os dois pontos é expressa por:

( T ) A =   m v A 2 2

( T ) B =   m v B 2 2

Analisando os pontos definidos pelo diagrama:

Ponto A: Origem do sistema.

  • Pela referência definida, tem-se que a consequência imediata será h A =0.
  • O anel é tirado do repouso em A, isto é, v A =0.
  • Nesta posição, através da equação da trajetória (r), pode-se averiguar que a deformação inicial da mola é dada pelas posições inicial e final dos estados, de modo que para a posição A, o ângulo em relação à horizontal é nulo, e na posição B será reto. Assim:

r A (0°) = 0,3*(1 + cos0°) = 0,6 m

A deformação em A será a trajetória para a posição local subtraída do comprimento inicial deformado:

s A = 0,6 - 0,2 = 0,4   m

Ponto B: Posição de análise.

  • A partir da referência, obtém-se que h B =   0,3   m .
  • A deformação em B será a trajetória para a posição local subtraída do comprimento inicial deformado:

r B (90°) = 0,3(1 + cos90°) = 0,3 m

s C =   0,3 - 0,2 = 0,1   m

Passo 2

Identificadas as energias atuantes no sistema, admitindo que sejam conservativas, a lei de conservação da energia mecânica será:

E M = C o n s t a n t e

E M = T + V

T A + V A = T B   +   V B

Substituindo as expressões no balanço energético, tem-se que:

m v A 2 2 + mg h A +  k s A 2 2 =  m v B 2 2  + m g h B   + k  s B 2 2

Passo 3

Com as conclusões acerca dos pontos inicial e final da análise, a expressão de conservação de energia será:

5* 0 2 2 + 5*9,81*0 +  500* 0,4 2 2   =   5* v B 2 2  + 5* 9,81* ( 0,3)  + 500* (0,1) 2 2

0+ 0 + 40  = 2,5 * v C 2  + 14,715  + 2,5

2,5 * v B 2   = 40 - 14,715 -   2,5

v B 2   = 22,785 2,5

v B = 3,019     m / s

Resposta

A velocidade do anel para quando a posição B é alcançada será de 3,019 m/s.

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