Enunciado

Um míssil é disparado do chão com uma velocidade inicial v 0 que faz um ângulo ϕ 0 com a vertical. Se o míssil tiver que alcançar uma altitude máxima igual a R , onde R é o raio da Terra, ( a ) mostre que o ângulo requerido ϕ 0 está definido pela relação

sin ⁡ ϕ 0 = 1 + α 1 - α 1 + α v e s c v 0 2

onde v e s c é a velocidade de escape, ( b )   determine a faixa de valores admissíveis para v 0 .

Passo 1

Fala aí, pessoal. Beleza? Bora fazer mais uma questão de Dinâmica. Neste problema temos que demonstrar que se o míssil tiver que alcançar uma altitude máxima igual a R , e o ângulo requerido ϕ 0 será:

sin ⁡ ϕ 0 = 1 + α 1 - α 1 + α v e s c v 0 2

Primeiro, sabemos que:

r A = R

Por conservação do momento angular, temos que:

R m v 0 sin ⁡ ϕ 0 = r B m v B r B = R + α R = 1 + α R v B = R v 0 sin ⁡ ϕ 0 1 + α R v B = v 0 sin ⁡ ϕ 0 1 + α

E por conservação de energia, temos:

T A + V A = T B + V B 1 2 m v 0 2 - G M m R = 1 2 m v B 2 - G M m 1 + α R v 0 2 - v B 2 = 2 G M m R 1 - 1 1 + α = 2 G M m R α 1 + α

Opa, a gente ficou com um sistema linear de duas equações e duas incógnitas. Resolvendo este sistema, vamos encontrar:

v 0 2 1 - sin 2 ⁡ ϕ 0 1 + α 2 = 2 G M m R α 1 + α

Por definição, temos que a velocidade de escape vai ser:

v 0 2 1 - sin 2 ⁡ ϕ 0 1 + α 2 = v e s c 2 α 1 + α

sin ⁡ ϕ 0 = 1 + α 1 - α 1 + α v e s c v 0 2

Opa, conseguimos demonstrar. Bora para a próxima parte da questão.

Passo 2

Para determinarmos a faixa de valores permitidos, temos:

0 ≤ sin 2 ⁡ ϕ 0 ≤ 1

Para ϕ 0 = 0 , vamos substituir na equação que encontramos anteriormente:

0 = 1 - v e s c v 0 2 α 1 + α v 0 = v e s c α 1 + α  

E para ϕ 0 = 1 , temos:

1 1 + α 2 = 1 - v e s c v 0 2 α 1 + α v 0 = v e s c 1 + α 2 + α

Portanto, o nosso intervalo vai ser:

v e s c α 1 + α ≤ sin 2 ⁡ ϕ 0 ≤ v e s c 1 + α 2 + α

É isso, galerinha. Conseguimos provar o que o enunciado nos pediu. Bora praticar mais!

Resposta

sin ⁡ ϕ 0 = 1 + α 1 - α 1 + α v e s c v 0 2

v e s c α 1 + α ≤ sin 2 ⁡ ϕ 0 ≤ v e s c 1 + α 2 + α

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