Enunciado

O anel de 2 kg é solto do repouso em A e desloca-se ao longo da guia vertical lisa. Determine a velocidade do anel quando ele chega à posição B. Determine também a força normal exercida sobre o anel nesta posição. A mola tem um comprimento não deformado de 200 mm .

Passo 1

Primeiramente deve-se estabeler a equação da conservação de energia cinética, energia potencial elástica e potencial gravitacional para o problema. De forma que :

E A + P A +   K A = E B + P B + K A (1)

Passo 2

Deve-se calcular as energias para o ponto A, de forma que a energia cinética será:

E A = 1 2 m v A 2 = 0

A energia potencial gravitacional será:

P A = m g h = 2 9,81 0 =   0   J

A energia potencial elática será:

K A = 1 2 k s A 2 (2)

Em (2) a deformação da mola s A é obtida subtraindo o comprimento não deformado da mola l 0 da distância entre as posições A e D, A D , de forma que:

K A = 1 2 k s A 2 = 1 2 600 A D - l 0 2      

K A = 1 2 600 0,4 - 0 2 + ( 0,4 - 0 ) 2 - 0,2 2

K A = 40,118   J

Passo 3

Deve-se calcular as energias para o ponto B, de forma que a energia cinética será:

E B = 1 2 m v B 2 = 1 v B 2

A energia potencial gravitacional será:

P B = m g h = 2 9,81 0,6 =   11,772   J

A energia potencial elática será:

K B = 1 2 k s B 2 (3)

Em () a deformação da mola s B é obtida subtraindo o comprimento não deformado da mola l 0 da distância entre as posições D e B, B D , de forma que:

K b = 1 2 k s B 2 = 1 2 600 B D - l 0 2      

K B = 1 2 600 0,2 - 0 2 + ( 0,2 - 0 ) 2 - 0,2 2

K B = 2,0589   J

Passo 4

Substituindo as energias encontradas em (1), temos que a única icognita será a velocidade do anel ao chegar ao ponto B, de forma que :

0 + 0 + 40,118 = v B 2 + 11,772 + 2,0589

v B = 5,13   m / s

Passo 5

Ao chegar no ponto B o anel estará sujeito a força peso, força elática da mola e a força normal. De forma que:

∑ F y = m a y   ∴     F P + F M y - N B = m a y

m g + k s B sin ⁡ 45 ° - N B = m v B 2 ρ

2 ( 9,81 ) + ( 600 ) ( 0,2 - 0 2 + ( 0,2 - 0 ) 2 - 0,2 ) sin ⁡ 45 ° - N B = 2 5,13 2 0,2

N B =   - 208,09   N = 208,09   ↓

Resposta

De acordo com os passos 1,2,3 e 4 a velocidade com que o anel chegará ao ponto B após ser solto da posição A, será:

v B = 5,13   m / s  

E a força normal, no instante em que o anel encontra-se na posição B será:

N B =   - 208,09   N = 208,09   ↓

Onde o sinal de negativo implica que a força encontra-se no sentido oposto ao adotado na resolução.

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