Enunciado

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O aro pode ser ajustado verticalmente entre três cabos de mesmo comprimento a partir dos quais o candelabro de 100 kg é suspenso. Se o aro permanece no plano horizontal e a tração em cada cabo não pode exceder 1 kN, determine a menor distância possível de z necessária para o equilíbrio.

Passo 1

Para encontrar o valor de z, o que deve ser feito primeiramente é o diagrama de corpo livre no qual serão representadas as forças envolvidas.

Como o aro possui uma simetria (divide-se em partes com o mesmo comprimento e mesmo ângulo) e as distâncias do seu centro até os pontos B, C e D são iguais, então a tração será a mesma em cada cabo. Portanto:

F A B = F A C = F A D ≤ 1000   N

Podemos adotar que o ângulo entre o eixo z e cada cabo é θ .

Tem-se que o candelabro exerce uma força peso para baixo que tem intensidade de P c a n d e l a b r o = 10 0 × 9,81 = 981   N .

Passo 2

Logo, fazendo o diagrama de corpo livre tem-se:

E, então, observando o desenho feito consegue-se montar as equações de equilíbrio.

Passo 3

O equilíbrio requer quer que o somatório de forças em cada dimensão seja nulo. Porém, a única força dada pelo enunciado está no eixo z. Logo, adotando o sentido dos eixos mostrado no desenho do enunciado:

∑ F z = 0

3 F A B cos ⁡ θ - 981 = 0  

cos ⁡ θ = 981 3 1000 ∴ θ = 70,9 °

Passo 4

Logo, pela simetria entre cada cabo e o eixo z:

t g θ = t g 70,9 ° = 0,5 z

∴ z = 0,173   m = 173   m m

Resposta

z = 173   m m

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