Enunciado

O plano vertical que contém o cabo da rede elétrica gira 30 ° no pólo vertical O C . As tensões T 1 e T 2 são ambas de 950   N . A fim de evitar uma inclinação prolongada do poste, cabos de sustentação A D e B E são utilizados. Se os dois cabos de sustentação são ajustados de modo a transportar tensões iguais T que juntos reduzem o momento em O a zero, determine a reação horizontal líquida em O . Determine o valor necessário de T . Despreze o peso do poste.

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar a tensão T que reduz o momento em O a zero e a reação do sistema neste mesmo ponto. Vamos começar definindo vetorialmente as tensões T 1 e T 2 :

T 1 = 950 - cos ⁡ 10 ° sen ⁡ 30 ° i ^ + cos ⁡ 10 ° cos ⁡ 30 ° j ^ - sen ⁡ 10 ° k ^   N m

T 2 = 950   - cos ⁡ 10 ° j ^ - sen ⁡ 10 ° k ^   N m

Já as tensões nos cabos B E e A D podem ser obtidas a partir de seus vetores unitários:

T B E → = T r → r

T B E → = T 10 cos ⁡ ( 15 ° ) i ^ + 10 sen ⁡ ( 15 ° ) j ^ - 11 k ^ ( 10 cos ⁡ 15 ° 2 + 10 sen ⁡ 15 ° 2 + - 11 2

T B E → = T 10 cos ⁡ 15 ° i ^ 221 + 10 sen ⁡ 15 ° j ^ 221 - 11 k ^ 221

T A D → = T r → r

T A D → = T 8 cos ⁡ ( 15 ° ) i ^ + 8 sen ⁡ ( 15 ° ) j ^ - 9 k ^ ( 8 cos ⁡ 15 ° 2 + 8 sen ⁡ 15 ° 2 + - 9 2

T B E → = T 8 cos ⁡ 15 ° i ^ 145 + 8 sen ⁡ 15 ° j ^ 145 - 9 k ^ 145

Passo 2

Show, feito isso, para encontrar o valor de T , precisamos apenas calcular o momento em torno de O , já que foi informado que T deve ser tal que este momento seja nulo.

∑ M O = 0

r O C → × T 1 → + r O C → × T 2 → + r O B → × T B E → + r O A → × T A D → = 0

13 k ^ × 950 - cos ⁡ 10 ° sen ⁡ 30 ° i ^ + cos ⁡ 10 ° cos ⁡ 30 ° j ^ - sen ⁡ 10 ° k ^ +

+ 13 k ^ × 950   - cos ⁡ 10 ° j ^ - sen ⁡ 10 ° k ^

+ 11 k ^ × T 10 cos ⁡ 15 ° i ^ 221 + 10 sen ⁡ 15 ° j ^ 221 - 11 k ^ 221

+ 9 k ^ × T 8 cos ⁡ 15 ° i ^ 145 + 8 sen ⁡ 15 ° j ^ 145 - 9 k ^ 145 = 0

∴ - 10532,93 + 12162,38 - 1,915 T - 1,546 T i ^ + - 6081,19 + 7,147 T + 5,776 T j ^ = 0

Igualando as variáveis a zero, obtemos o valor de T :

T = 471   N

Passo 3

Tranquilo né? Não podemos nos assustar com esses produtos vetoriais, eles acabam sempre sendo de boa de fazer. Agora para encontrar a reação horizontal em O ficou fácil, só precisamos fazer o equilíbrio de forças em x e em y :

∑ F x = 0

- 950 sen ⁡ 30 ° cos ⁡ 10 ° + 471 10 cos ⁡ 15 ° 221 + 471 8 cos ⁡ 15 ° 145 + O x = 0

O x = - 140   N

∑ F y = 0

950 cos ⁡ ( 30 ° ) cos ⁡ ( 10 ° ) - 950 cos ⁡ 10 ° + 471 10 sen ⁡ 15 ° 221 + 471 8 sen ⁡ 15 ° 145 + O y = 0

O y = - 37,6   N

E, finalmente, temos o módulo da reação em O :

O = O x 2 + O y 2

O = - 140 2 + - 37,5 2

O = 144,9   N

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

T = 471   N

O = 144,9   N

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