Enunciado

O avião a jato está se deslocando com uma velocidade escalar de 120   m / s que está diminuindo a 40   m / s 2 quando ele chega no ponto A. Determine a intensidade da sua aceleração quando ele está nesse ponto. Especifique também a direção do voo, medida a partir do eixo x .

Passo 1

Precisamos determinar a intensidade da aceleração e o ângulo que faz com o eixo x . Como já nos foi dado a sua componente tangencial, só precisamos calcular a sua componente normal. Mas aí a gente se questiona: e cadê o raio de curvatura? Este é o ponto mais difícil da questão. Para calcularmos o raio de curvatura, será necessário utilizarmos a seguinte equação:

ρ = 1 + d y d x 2 3 / 2 d 2 y d x 2

Obtido a função para o raio da curvatura, basta substituir o valor de x = 80 que obtemos o raio. Depois disto, basta utilizar as equações da cinemática para determinarmos a aceleração. Para determinar a intensidade, basta lembrar que:

θ = tan - 1 ⁡ d y d x

Passo 2

Antes de calcularmos a componente normal, precisamos determinar o raio de curvatura. Para isto, utilizaremos a fórmula do Passo 1. Primeiramente, derivaremos a função que governa a nossa curva duas vezes. Sendo assim:

y ' = d y d x = 15 x 80 ⋅ 1 80 = 15 x

y ' ' = d 2 y d x 2 = - 15 x 2

Substituindo na fórmula do raio de curvatura, temos:

ρ = 1 + 15 x 2 3 / 2 15 x 2

Quando x = 80 , temos:

ρ = 449,3   m

Passo 3

Agora, para calcularmos as componentes da aceleração, podemos substituir os valores diretamente nas suas equações. Como a velocidade é constante, o termo tangencial já foi dado implicitamente e é igual a a t = - 40   m / s 2 . Calcularemos então a componente normal. Sendo assim, temos:

a n = v 2 ρ = 120 2 449,3 = 32   m / s 2

Portanto, calculando a intensidade da aceleração, temos:

a = a n 2 + a t 2

a = 32 2 + - 40 2

a = 51,3   m / s 2

Passo 4

Para determinarmos o ângulo que o avião faz com o eixo x basta calcularmos

θ = tan - 1 ⁡ d y d x

Quando x = 80 . Portanto,

θ = tan - 1 ⁡ 15 x

θ = tan - 1 ⁡ 15 80

θ = 10,6 °

Resposta

a = 51,3   m / s 2

θ = 10,6 °

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O movimento do pino P é restringido pela fenda curva da lemniscata em O B e pela fenda do braço O A . Se O A gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular de θ ˙ = 3r a d / s , determine a i
O movimento do pino P é restringido pela fenda curva da lemniscata em O B e pela fenda do braço O A . Se O A gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular de θ ˙ = 3 t 3 / 2r a d / s , onde
O motorista do carro mantém uma velocidade escalar constante de 40 m / s . Determine a velocidade angular da câmera acompanhando o carro quando θ = 15 ° .
A caixa desce deslizando pela rampa helicoidal com uma velocidade escalar constante de v = 2m / s . Determine a intensidade da sua aceleração. A rampa desce uma distância vertical de 1m para cada volt
O pino move-se na fenda curva definida pela lemniscata e pela fenda no braço. Em θ = 30 ° , a velocidade angular é θ ˙ = 2r a d / s , e a aceleração angular é θ ¨ = 1,5r a d / s 2 . Determine as inten