Enunciado

A posição de uma partícula é definida por r = 2 sen ⁡ π 4 t i → + 2 cos ⁡ π 4 t j → + 3 t k →   m , onde t é dado em segundos. Determine as intensidades da velocidade e da aceleração em qualquer instante.

Passo 1

A posição da partícula é uma função vetorial r ( t ) . Para obtermos a função vetorial da velocidade e da aceleração, basta derivar em sequência. Além disto, é importante destacar que cada vetor é derivado separadamente! Sendo assim, basta fazermos:

v t = d r d t

a t = d v d t = d 2 r d t 2

Como estamos trabalhando com uma função vetorial, para obtermos a intensidade, basta tomarmos a sua norma!!!

Passo 2

Vamos obter a função da velocidade. Portanto,

v t = d r d t

v t = π 2 cos ⁡ π 4 i → - π 2 sen ⁡ π 4 j → + 3 k →

E a intensidade da velocidade vai ser dado pela norma do vetor. Sendo assim,

v = π 2 cos ⁡ π 4 2 + - π 2 sen ⁡ π 4 2 + 3 2  

v = π 2 4 cos 2 ⁡ π 4 + π 2 4 sen 2 ⁡ π 4 + 9  

Passo 3

Fazendo o mesmo procedimento para a aceleração, temos:

a t = d v d t = 0 →

Portanto a magnitude da aceleração é 0!

Resposta

v = 3,39   m / s

a = 0   m / s 2

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