Enunciado

A próxima figura apresenta esquema de um guindaste com patolas quando do içamento da carga P → . Este esquema, ( P 1 = 500   k N ) é a intensidade do peso do guindaste sem a lança e o contrapeso, ( P 2 = 60   k N ) é intensidade do contrapeso da estrutura de base da lança, ( P 3 = 50   k N ) é a intensidade do peso da lança e ( r = 12 m ) é o raio de operação em projeção horizontal da lança. Com a suposição de que o solo tenha capacidade resistente e considerando o peso da lança uniformemente distribuído ao longo de seu comprimento, determine o ângulo α mais desfavorável e a carga máxima que pode ser içada, na condição limite de deslocamento de alguma sapata do solo

Passo 1

Vamos começar determinando as condições de equilíbrio para o sistema no plano x z . Para tanto, vamos obter os momentos de cada força que atua no sistema nesse plano. Os momentos serão calculados em relação a patola. Vamos calcular o momento da força peso para a carga, assumindo que temos a carga máxima. Assumindo que R é o comprimento da lança quando vista lateralmente e θ é o ângulo entre a lança e o peso P → , então o momento dessa força será, em módulo, igual a M P = R P   s e n   θ . Mas, R   s e n   θ é justamente a projeção do raio horizontal r na direção y , ou seja, r   c o s α . Logo,

R   s e n   θ - 2,5   m = r c o s α - 2,5 m = 12 m c o s α - 2,5 m

Ou seja, só precisamos da distância horizontal nesse caso. Então,

M P = ( 12 m c o s α - 2,5 m )   P .

O mesmo vale para os momentos das demais forças. A força P → 1 está a   2,5 m da patola. Logo, o momento de P → 1 tem módulo

M 1 = 2,5 m   P 1 .

Da mesma forma,

M 2 = ( 2 m   c o s α + 2,5 m   ) P 2 .

O peso do guindaste está uniformemente distribuído, o que significa que seu efeito é equivalente a aplicar o peso total no meio guindaste. Esse ponto corresponde a r / 2 . Assim,

M 3 = P 3 ( r / 2 ⋅ c o s α -   2,5 m ) = P 3 ⋅ ( 6 m   c o s α - 2,5 m )  

onde utilizamos r = 12 m .

Agora, vamos utilizar a equação de equilíbrio dos momentos das forças ∑ M → = 0 . Utilizando a regra da mão direita, podemos notar que as forças à direita (esquerda) da patola estão no sentido positivo (negativo) de y . Assim

∑ M Y = M P + M 3 - M 2 - M 1 = 0

⇒ ( 12 m c o s α - 2,5 m )   P + P 3 ⋅ ( 6 m   c o s α - 2,5 m ) - ( 2 m   c o s α + 2,5 m   ) P 2 - 2,5 m   P 1 = 0

⇒ c o s α ( 12 m P + 6 m P 3 - 2 m P 2 ) = 2,5 ( P + P 1 + P 2 + P 3 )  

Vamos deixar essa equação reservada por enquanto.

Passo 2

Agora, vamos considerar as forças plano y z e calcular os momentos das forças em relação à patola lateral. Assim, a distância horizontal da carga até a patola é

r   s e n   α - 3 m = 12 m   s e n   α - 3 m .

Logo, M P = P ⋅ ( 12 m   s e n   α - 3 m ) .

A distância horizontal da patola até o ponto de aplicação do peso da lança é

r / 2   s e n   α - 3 m = 6 m   s e n   α - 3 m , de modo que M 3 = P 3 ⋅ ( 6 m   s e n   α - 3 m ) .

A distância horizontal da patola até o contrapeso é 2 m   s e n   α + 3 m , então M 2 = P 2 ⋅ ( 2 m   s e n   α + 3 m ) .

A distância horizontal do peso de guindaste é 3 m . Logo, M 1 = 3 m   P 1 .

Agora, substituindo os momentos na equação de equilíbrio, obtemos

∑ M X = M P + M 3 - M 2 - M 1 = 0

⇒ P ⋅ ( 12 m   s e n   α - 3 m ) + P 3 ⋅ ( 6 m   s e n   α - 3 m ) - P 2 ⋅ ( 2 m   s e n   α + 3 m ) - 3 m   P 1 = 0

⇒ s e n   α ( 12 m P   + 6 m   P 3 - 2 m P 2 ) = 3 m ( P + P 1 + P 2 + P 3 )

Passo 3

Obtivemos duas equações

c o s α ( 12 m P + 6 m P 3 - 2 m P 2 ) = 2,5 ( P + P 1 + P 2 + P 3 )

s e n   α ( 12 m P   + 6 m   P 3 - 2 m P 2 ) = 3 m ( P + P 1 + P 2 + P 3 )

e queremos determinar α e P . Dividindo a segunda equação pela primeira nos dá

s e n   α c o s α = t a n α = 2,5 3,0 ≈ 0,833   ⇒ α = a r c t a n ( 0,833 ) = 39,8 °

Agora, temos que rearranjar as equações para obter P. Do Passo 2, temos

P ⋅ ( 12 m   s e n   α - 3 m ) + P 3 ⋅ ( 6 m   s e n   α - 3 m ) - P 2 ⋅ ( 2 m   s e n   α + 3 m ) - 3 m   P 1 = 0

⇒ P ⋅ ( 12 m   s e n   α - 3 m ) = - P 3 ⋅ ( 6 m   s e n   α - 3 m ) + P 2 ⋅ ( 2 m   s e n   α + 3 m ) + 3 m   P 1

Como s e n   39,8 ° = 0,64 , então

P ⋅ ( 12 m ⋅   0,64 - 3 m ) = 4,68 m P = - 0,84 P 3 + 1,28 P 2 + 3 m   P 1

⇒ 4,68 m   P = - 0,84 m   ⋅ 50   k N + 1,28 m ⋅ 60   k N + 3 m ⋅ 500   k N = 1618,8   k N m

⇒   P = 1618,8   k N m 4 , 68 m = 2340   k N

Resposta

α = a r c t a n ( 0,833 ) = 39,8 °

P = 2340   k N

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