Enunciado

O barco tem um peso de 2500   N   ( ≈ 250   k g ) e é mantido na posição lateral de um navio pelas vergas em A e B . Um homem com um peso de 650   N   ( ≈ 65   k g ) entra no barco, enrola uma corda em torno de uma lança em C e a prende na extremidade do barco, conforme mostra a figura. Se o barco for desconectado das vergas, determine o número mínimo de meias voltas que a a corda precisa fazer em torno do mastro de modo que o barco possa ser abaixado com segurança para a água em velocidade constante. Além disso, qual é a força normal entre o barco e o homem? O coeficiente de atrito entre a corda e o mastro é μ s = 0,15 . Dica: O problema exige que a força normal entre os pés do homem e o barco seja a menor possível.

Passo 1

Galera, essa questão foi bem legal com a gente porque já até nos deu uma dica! Vamos considerar que a força normal entre os pés do homem e o barco é igual a zero, beleza? Seja T 1 = 650   N e T 2 = 2500   N . Então, aplicando a equação para o atrito entre corda e roldana, temos:

T 2 = T 1 e μ β

2500 = 650 e 0,15 β

e 0,15 β = 2500 650

e 0,15 β = 3,84615

Aplicando o logaritmo natural dos dois lados da equação:

ln ⁡ e 0,15 β = ln ⁡ 3,84615

0,15 β = 1,347

β = 1,347 0,15

β = 8,98   r a d

Assim, o menor número de meias voltas que a corda precisa é:

n = 8,98 π = 2,86   v o l t a s

Para efeitos de resposta, vamos usar n = 3   v o l t a s

Passo 2

Vamos agora encontrar a força normal entre o homem e o barco. Para um sistema em equilíbrio, o somatório de forças em x e y tem que ser igual a zero.

Assumindo que a direção para cima é positiva, temos para o eixo y :

∑ F y = 0

T 2 - N m - 2500 = 0

T 2 = N m + 2500

Passo 3

Vamos olhar agora para a situação do homem. As forças que estão atuando em cima do homem são:

Para um sistema em equilíbrio, o somatório de forças em x e y tem que ser igual a zero. Assim, adotando como referencial positivo a direção para cima como positiva, temos:

∑ F x = 0

T 1 + N m - 650 = 0

T 1 = 650 - N m

Passo 4

Temos em mãos a tração na corda amarrada ao barco e a tração na mão do homem. O jeito que podemos usar para relacionar as duas é através da equação do atrito entre cordas e uma superfície de contato. Assim:

T 2 = T 1 e μ β

N m + 2500 = 650 - N m e 0,15 3 π

5,1 N m = 172,3

N m = 33,78   N

Resposta

O número mínimo de meias voltas é:

n = 3

A força normal entre o barco e o homem é:

N m = 33,78   N

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