Enunciado

Dois eixos maciços de aço são conectados pelas engrenagens mostradas. Usando o método do trabalho e energia, determinar o ângulo de rotação da extremidade D , quando T = 820   N × m . Usar G = 77   G P a .

Passo 1

Faaala, meus chuchus! Tudo bem? Vamos fazer uma questão de cálculo de ângulo de rotação da torção através do método de energia?

Essa questão mostra um eixo C D sendo torcido com um torque T . Esse torque faz os eixos C D e A B absorverem uma energia total U e se deformarem. O enunciado pede que a gente ache o ângulo de rotação θ D da extremidade D do eixo, usando duas equações para calcular a energia U absorvida pelos eixos C D e A B . A primeira, calcula U a partir do torque T .

U = T θ D 2       ⟹       θ D = 2 U T

A segunda equação, calcula U somando a energia U C D absorvida pelo eixo C D com a energia U A B absorvida pelo eixo A B .

U = U A B + U C D

Para calcular U A B e U C D usamos a equação 10.22 do livro que calcula a energia absorvida por um eixo em torção.

U A B = T 2 2 L A B 2 G J A B       |       U C D = T 2 L C D 2 G J C D

G é o módulo de elasticidade transversal do material das barras. Ele vale 77   G P a segundo o enunciado.

Para fazer esses cálculos, supomos que as duas barras estão girando tão devagar que estão em equilíbrio! A figura abaixo mostra os dados que temos para achar θ D .

D A B e D C D são os diâmetros das barras A B e C D respectivamente. R 1 e R 2 são os raios da engrenagem da barra C D e A B respectivamente. L A B e L C D são os comprimentos das barras A B e C D respectivamente.

Agora que temos todas essas fórmulas, vamos começar a fazer as contas, calculando o valor do torque T 2 !

Passo 2

Para achar o torque T 2 temos que lembrar da terceira lei de Newton chamada de ação e reação. Levando essa lei em conta, vemos que a engrenagem da barra C D empurra a engranagem da barra A B com uma força F A B e a engrenagem da barra A B reage empurrando a engrenagem da barra C D com uma força F C D igual e oposta!

Como os torques T são iguais às forças F divididas pelos raios R , concluímos que:

F A B = F C D

T 2 R 2 = T R 1

T 2 = T R 2 R 1

T 2 = 820 × 100 60

T 2 = 1366,67   N × m

Agora só falta achar os momentos de inércia polares J A B e J C D para a gente calcular U A B e U C D .

Passo 3

Antes de achar as energias de deformação U A B e U C D de cada barra, temos que encontrar os valores dos momentos de inércia polares J A B e J C D de cada barra .

Achamos J A B e J C D , através das fórmulas de momentos de inércia polares para áreas circulares abaixo. Antes, devemos converter os diâmetros de m m pra m , multiplicando eles por 10 - 3 .

J A B = π × D A B 4 32       ⟹       J A B = π × 50 × 10 - 3 4 32       ⟹       J A B = 6,1359 × 10 - 7   m 4

J C D = π × D C D 4 32       ⟹       J C D = π × 40 × 10 - 3 4 32       ⟹       J C D = 2,5133 × 10 - 7   m 4

Com esses valores podemos partir para nosso passo final!

Passo 4

Substituímos J A B e J C D nas equações de U A B e U C D para achar as energias de deformação. No entanto, antes disso converter o G de G P a para P a , multiplicando G por 10 9 .

U A B = T 2 2 L A B 2 G J A B       ⟹       U A B = 1366,67 2 × 0,4 2 × 77 × 10 9 × 6,1359 × 10 - 7       ⟹       U A B = 7,91   J

U C D = T 2 L C D 2 G J C D       ⟹       U C D = 820 2 × 0,6 2 × 77 × 10 9 × 2,5133 × 10 - 7       ⟹       U C D = 10,42   J

Somando U A B com U C D , achamos U .

U = U A B + U C D       ⟹       U = 7,91 + 10,42       ⟹       U = 18,33   J

Substituindo esse valor na fórmula de θ D , achamos:

θ D = 2 U T       ⟹       θ D = 2 × 18,33 820       ⟹       θ D = 0,045   r a d

Para converter esse valor de ângulo de radiano para grau, multiplicamos ele por 180 e dividimos por π .

θ D = 0,045 × 180 π       ⟹       θ D = 2,58   °

Maravilha! Acabamos com a questão! :-D

Resposta

θ D = 2,58   °

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