Enunciado

O ventilador está montado em um apoio articulado de tal maneira que, no instante mostrado, ele está girando em torno do eixo z a w 1 = 0,8   r a d / s , que está aumentando a 12   r a d / s 2 . A pá está rodopiando a w 2 = 16   r a d / s , que está aumentando a 2   r a d / s 2 . Determine a velocidade angular e a aceleração angular da pá nesse instante.

Passo 1

A velocidade angular pode ser expressa na forma de um vetor cartesiano, por meio da soma das componentes das velocidades ω 1 e ω 2 , de mode que :

ω = ω 1 + ω 2 = 0,8   k + ( 16 cos ⁡ 30 ° i + 16 sin ⁡ 30 ° j )

ω = 13,9   i + 8,8   k   r a d / s

Passo 2

A aceleração angular será:

α = ω = ˙ ( ω ˙ 1 ) X Y Z + ( ω ˙ 2 ) X Y Z (1)

Para ω 2 , Ω = ω 1 = 0,8   k   r a d / s , então:

( ω ˙ 2 ) X Y Z = ω ˙ 2 x y z + Ω × ω 2

( ω ˙ 2 ) X Y Z = - 2 cos ⁡ 30 ° i   - 2 sin ⁡ 30 °   k + 0,8   k × ( 16 cos ⁡ 30 ° i + 16 sin ⁡ 30 ° j )

( ω ˙ 2 ) X Y Z = - 1,732   i + 11,0851   j - 1 k   r a d /   s 2 (2)

Para ω 1 , Ω = 0   , então:

( ω ˙ 1 ) X Y Z = ω ˙ 1 x y z + Ω × ω 1

( ω ˙ 1 ) X Y Z = 12   k + 0 × ( 0,8   k )

( ω ˙ 1 ) X Y Z = 12   k   r a d /   s 2

Passo 3

Substituindo (2) e (3) em (1), a aceleração angular será:

α = 12   k + ( - 1,732   i + 11,0851   j - 1 k )

α = - 1,732   i + 11,0851   j + 11 k   r a d / s 2

Resposta

De acordo com os passos 1,2 e 3 no instante mostrado a velocidade angular e a aceleração angular da pá serão respectivamente:

ω = 13,9   i + 8,8   k   r a d / s

α = - 1,732   i + 11,0851   j + 11 k   r a d / s 2

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