Enunciado

O diagrama tensão-deformação de um material pode ser descrito pela curva σ = c ϵ 1 / 2 . Determine a deflexão δ da extremidade de uma haste feita desse material se ela tiver comprimento L , área de seção transversal A e peso específico γ .

Passo 1

Uma haste está pendurada. A extremidade superior está engastada e a inferior está livre.

Essa questão não tem números, vamos anotar tudo que sabemos.

Características da haste:

  • Comprimento inicial: L .
  • Área transversal: A .
  • Peso específico: γ .

Além disso, sabemos que a relação tensão-deformação é não linear, regida por

σ = c ϵ 1 / 2

Até aqui é pra considerarmos tudo conhecido! Inclusive aquela constante c !

O forçamento sobre a haste vai ser seu próprio peso! Em uma distância x a partir do engaste, a força puxando o segmento para baixo é

F ( x ) = γ   A   x

Queremos saber o quanto a extremidade livre se desloca para baixo: δ .

A tensão e deformação aqui interagem de forma não linear, então não podemos usar as fórmulas que estamos acostumados! Vamos ter que apelar para as definições.

Passo 2

A definição da deformação é o deslocamento dividido pelo comprimento inicial, mas isso é calculado em segmento bem pequeno (infinitesimal)! Então escrevemos com diferenciais:

ϵ ( x ) = d δ ( x ) d x

E é claro, isso é calculado em seção a uma distância x do engaste.

Beleza! Agora para a tensão, como a haste tem área constante e nenhum concentrador de tensão, podemos pensar em tensão axial média para ela toda:

σ ( x ) = F ( x ) A

Passo 3

Não se assuste, tá tranquilo. Só juntar isso tudo agora com a relação que a questão nos deu.

σ = c ϵ 1 / 2           →         F x A = c d δ x d x

Estamos procurando o deslocamento da haste, então vamos isolar o diferencial d δ :

d δ = F x c   A 2 d x

Substitua a fórmula da força e integre:

d δ = γ   A   x c   A 2 d x

δ = ∫ 0 L γ 2   x 2 c 2   d x

δ = γ 2   c 2 L 3 3 - 0 3 3

δ = γ 2   L 3   3 c 2

Resposta

Deflexão:

δ = γ 2   L 3   3 c 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva o Problema 4.106 se o diagrama de tensão-deformação for definido por σ = c ϵ 3 / 2 .
O peso de 1500kN ( ≈ 150t ) é assentado lentamente no topo de um poste feito de alumínio 2014 -T 6 com núcleo de aço A- 36 . Se ambos os materiais puderem ser considerados elásticos perfeitamente plás
O peso é suspenso por cabos de aço e alumínio, cada um com o mesmo comprimento inicial de 3m e área de seção transversal de 4mm 2 . Se considerarmos que os materiais são elásticos perfeitamente plásti
A viga é suportada pelos três postes A , B e C de comprimentos iguais. Os postes A e C têm diâmetro de 75mm e são feitos de alumínio, para o qual E a l = 70GPa e σ e , a l = 20MPa . O poste B tem diâm
A haste do parafuso de aço com 10mm de diâmetro está embutida em uma luva de bronze. O diâmetro externo dessa luva é 20mm . Se a tensão de escoamento for σ e , a ç o = 640MPa ç para o aço e σ e , b r