Enunciado

A barra tem área de seção transversal de 625   mm 2 . Se uma força P = 225   kN for aplicada em B e, então, removida, determine a tensão residual nas seções A B e B C . σ e = 210   MPa .

Passo 1

Uma barra vertical presa por pinos em A e C sofre um carregamento P = 225   kN para baixo em B .

Características da barra:

  • Tensão de escoamento:   σ e = 210   MPa .
  • Área transversal: A = 625   mm 2 .
  • Comprimentos iniciais: L A B = 3 L / 4 , L B C = 1 L / 4 . (Trate L como conhecido!)

A carga é aplicada e então removida. Queremos saber qual é a tensão residual σ r e s nas seções.

Bem, de início, a gente trata como se fosse um problema comum, estaticamente indeterminado. Primeiro vamos achar as tensões em cada seção da barra e ver se ultrapassam o limite de escoamento.

Passo 2

Problema com uma dimensão só, tá fácil! Os apoios vão resistir com F A e F C apontando pra cima:

∑ F = 0           →           F A + F C = P  

Duas incógnitas ( F A e F C ), precisamos de mais uma relação. Vamos ver a compatibilidade.

Passo 3

Vamos pensar com o princípio da superposição. Olhe para o ponto C .

  • O carregamento P puxa a seção A B para baixo, descendo C um comprimento δ P .
  • A reação F C empurra a barra toda ( A C ) para cima, então C sobe δ F C .

Como o apoio é rígido em C (não se move), esses efeitos tem que se anular:

δ P = δ F C

Como estamos pensando no regime elástico ainda, então temos fórmula! Relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

P   L A B A   E = F C   L A   E           →           F C = P L A B L

Opa! Bota os valores que a gente já acha uma reação:

F C = 3 4 P = 168,75   kN

Agora volta em F A + F C = P que aí pegamos F A logo:

F A = 225   kN - 168,75   kN = 56,25   kN

Passo 4

Agora que temos as reações, vamos conferir as tensões com a fórmula:

σ = F A

Os sinais nas tensões vão ser importantes mais tarde! Então entenda o que está acontecendo: a seção A B está sendo tracionada (positivo) e a seção B C está sendo comprimida (negativo).

σ A B = 90   MPa

σ B C = 270   MPa

Compare com σ e = 210   MPa para ver se alguma parte escoou.

Seção A B : σ A B < σ e . OK!

Seção B C : σ B C > σ e . Iiiiih, então essa seção não está no regime elástico...

Vamos ter que analisar de novo. A informação que temos agora é a seguinte: a seção B C com certeza vai escoar.

Passo 5

A questão devia ter nos dado alguma informação sobre a relação tensão-deformação no regime plástico (afff...). Como não disse nada, vamos supor que o material é elastoplástico. Então a tensão em B C vai continuar sendo 210   MPa , e aí a gente multiplica pela área pra ver qual é o máximo de força que essa parte da barra aguenta:

σ B C = 210   MPa           →           F C = 210   MPa ⋅ 625   mm 2

F C = 131,25   kN

Beleza, agora vamos ver como fica F A . Use o equilíbrio de forças

F A + F C = P             →           F A = 93,75   kN

Temos as reações! Mas calma, tem que conferir se nesse novo equilíbrio a seção A B continua em regime elástico:

σ A B = 93,75   kN 625   mm 2 = 150   MPa

Ótimo, a tensão σ A B está menor que o limite de escoamento ( σ e = 210   MPa )! Se fosse maior, ia dar xabu (a barra ia deformar sem parar!)

Isso é tudo que tem pra gente descobrir a respeito da barra estar carregada:

  • A B : regime elástico, tração, σ A B = 150   MPa .
  • B C : regime plástico, compressão, σ B C = 210   MPa .

Agora vamos ver como resolve quando tiramos a força P . Relaxa que é tranquilo!

Passo 6

Quando a força P for retirada, ocorrerá um pouco de recuperação elástica da barra (mesmo em quem sofre deformação permanente; B C ). Porém, os apoios irão resistir essa recuperação, e teremos tensões residuais como resultado disso tudo.

O jeito fácil é pensar com o princípio da superposição: imagine uma força P contrária ao carregamento, ou seja, empurrando para cima! Como a recuperação é elástica, as tensões induzidas vão ser aquelas calculadas no Passo 4!

Na seção A B , temos tração (positivo) de + 150   MPa e recuperação (compressão, negativo) de - 90   MPa . A tensão residual fica:

σ r e s A B = 150 - 90 = 60   MPa

Na seção B C , temos compressão (negativo) de - 210   MPa e recuperação (tração, positivo) de 270   MPa . Residual:

σ r e s B C = - 210 + 270 = 60   MPa

Ótimo! As duas deram iguais, como esperado. Fique atento que os sinais tem que ser iguais também nas tensões residuais!

Resposta

Tensão residual: σ r e s A B = σ r e s B C = 60   MPa (tração).

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