Enunciado

A barra rígida é sustentada por um pino em A e dois cabos de aço, cada um com diâmetro de 4   mm . Se a tensão de escoamento para os cabos for σ e = 530   MPa e E a ç o = 200   GPa , determine ( a ) a intensidade da carga distribuída w que pode ser colocada sobre a viga de modo a provocar um início de escoamento somente em um dos cabos e ( b ) a menor intensidade da carga distribuída que provoque o escoamento de ambos os cabos. Para o cálculo, considere que o aço é elástico perfeitamente plástico.

Passo 1

Uma barra rígida tem como suporte um pino em A e dois cabos: um em B e outro em C . Um carregamento uniformemente distribuído w puxa a barra para baixo.

Características dos cabos:

  • Aço: E = 200   GPa , σ e = 530   MPa .
  • Área transversal: A = π ⋅ 4 2 / 4 = 12,566   mm 2 .
  • Comprimento inicial: L = 800   mm .
  • Material elastoplástico.

A questão pede que analisemos duas situações:

  • Caso A : descobrir qual é o valor w da carga distribuída que vai causar o início de escoamento de um dos cabos.
  • Caso B : o menor valor de w que causa escoamento em ambos os cabos.

Beleza, então estamos procurando valores para a carga distribuída w .

Para o Caso A , vamos precisar descobrir qual dos cabos escoa primeiro.

Depois pro Caso B a gente vê qual valor w assume quando o outro cabo começa a escoar!

Passo 2

Como podemos descobrir quem escoa primeiro fazendo pouca conta?

Bem, os dois cabos são iguais: mesmo material e mesmo comprimento inicial. A gente sabe que pela Lei de Hooke, tensão no regime elástico é função da deformação:

σ = E ϵ

Então o cabo que vai chegar primeiro na tensão de escoamento σ e = 530   MPa é aquele que deforma mais! Definição de deformação:

ϵ = δ L

O L é igual! Vamos ver qual cabo tem deslocamento δ maior.

A barra vai girar ao redor do pino em A . Como ela é rígida, ela não se deforma. Vejamos como os deslocamentos dos cabos se relacionam. A barra é a linha preta na figura.

Opa, pela figura já dá pra ver de cara que δ C > δ B (sempre)! O cabo C D escoa primeiro!

Para o Caso A estamos procurando o w que causa o início do escoamento de C D !

Agora sim, vamos pras contas!

Passo 3

Estamos procurando forças, então primeiro vamos ver no diagrama de corpo livre como elas se relacionam. O que nos interessa são as forças verticais.

A situação que estamos buscando é quando o cabo C D começa a escoar, o que significa que a tensão no cabo C D é

σ C = σ e = 530   MPa

Pela fórmula da tensão, σ = F / A , podemos calcular já de cara qual é a força F C que o cabo C D está suportando:

F C = 530   MPa ⋅ 12,566   mm 2

F C = 6,660   kN

Show, já é uma informação resolvida! Vamos ver o que isso tem a ver com w , que é quem procuramos.

Fazendo equilíbrio de momentos em A a gente não tem que lidar com a reação do pino. Atenção que o carregamento atua a 400   mm de A com itensidade de 800   mm ⋅ w .

∑ M A = 0           →           400 F B + 650 F C = 400 ⋅ 800   mm ⋅ w

F B + 10,822   kN = 800   mm ⋅ w

Hmmm, pra definirmos w ainda precisamos descobrir o valor da força F C . Vamos ver a compatibilidade.

Passo 4

Volte à figura do Passo 2. Temos três triângulos com um ângulo em comum. Olhando para o menor e o intermediário, podemos formar uma equação com a tangente do ângulo:

δ B 400 = δ C 650

O cabo E B a gente sabe que está no regime elástico (porque C D escoa primeiro e estamos investigando o momento inicial de escoamento). Então para E B você pode usar a relação carga-deslocamento sem medo:

δ = F   L A   E

Para C D , você também vai poder usar a relação carga-deslocamento porque ele começou a escoar agora (está no limite σ e = 530   MPa , final do regime elástico).

F B   L A   E = 400 650 ⋅ F C   L A   E

F B = 4,098   kN

Olha que fácil, já acabamos o Caso A . Voltando a F B + 10,822   kN = 800   mm ⋅ w temos que

w = 18,65   kN/m

Bora pro Caso B !

Passo 5

Ok, então C D escoa primeiro. Agora queremos ver qual é o menor valor de w pro outro cabo também escoar. Ou seja, temos que achar w que faz com que E B comece a escoar!

Vamos voltar para a equação que temos relacionando w . Equilíbrio de momentos:

∑ M A = 0           →           400 F B + 650 F C = 400 ⋅ 800   mm ⋅ w

Precisamos achar F B e F C para essa nova situação do Caso B .

O cabo C D vai continuar escoando, e como ele é elastoplástico, a tensão nele vai ser manter σ e :

σ C = 530   MPa

Então pela fórmula da tensão, temos a mesma força ainda nesse cabo.

σ = F A           →           F C = 6,660   kN

A gente vai acabar com a questão agora mesmo! O cabo E B também está escoando, então a tensão nele também é

σ B = σ e = 530   MPa

De novo, pela fórmula da tensão

σ = F A           →           F B = 6,660   kN

Olha que beleza! Só fechar as contas:

400 F B + 650 F C = 400 ⋅ 800   mm ⋅ w           →           w = 6993   kN 400 ⋅ 800   mm

w = 21,85   kN/m

Resposta

Carga distribuída para início de escoamento em apenas um cabo: w = 18,65   kN/m .

Menor carga distribuída para escoamento em ambos os casos: w = 21,85   kN/m .

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