Enunciado

A barra tem área de seção transversal A e está submetida à carga axial P . Detetmine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem na seção sombreada que está orientada a um ângulo θ em relação à horizontal. Represente em gráfico a variação dessas tensões em função de θ   ( 0 ≤ θ ≤ 90 ° ) .

Passo 1

Precisamos saber quais são as forças que atuam nesse nosso sistema para que então consigamos descobrir quais os valores de tensões normal e de cisalhamento que são dadas por

σ m e d = P A   e   τ m e d = F A c

Com

P: resultante da força normal;

A: Área da seção transversal;

F: Força cortante total;

A c : Área cortante;

Para sabermos quais forças são essas que atuam no nosso sistema façamos o seguinte diagrama de forças

Passo 2

Pela figura vemos que é possível decompor a força P de tal forma que ela se adeque as direções de V e de N , assim teremos

P x = P ⋅ cos ⁡ θ   e   P y = P ⋅ s e n   θ

Sendo que x e y se referem ao sistema de coordenadas cartesianas deslocado de um ângulo θ . Dessa forma, podemos fazer as equações de equilíbrio pra esse novo sistema de coordenadas, assim teremos

∑ F x = 0 → V - P ⋅ cos ⁡ θ = 0 → V = P ⋅ cos ⁡ θ

∑ F y = 0 → N - P ⋅ s e n   θ = 0 → N = P ⋅ s e n   θ

Para esse caso também teremos a Área da seção transversal deslocada assim temos

A θ = A s e n   θ

Passo 3

Agora, temos tudo para calcular as tensões desejadas pela questão, basta substituirmos os dados e assim iremos obter

σ = N A θ = P ⋅ s e n θ A s e n θ = P A ⋅ s e n 2 ( θ )

Para a tensão de cisalhamento vamos ter

τ m e d = V A θ = P A ⋅ s e n ( θ ) ⋅   cos ⁡ θ

Podemos, ainda, plotar um esboço dos gráficos dessas funções e vamos obter

Para o gráfico da tensão de cisalhamento onde temos seu valor de pico em 45 ° . Já para a tensão normal vamos ter o seguinte esboço

Onde nossa função tem seu ápice em 90 ° .

Resposta

σ = P A ⋅ s e n 2 ( θ )

τ m e d = P A ⋅ s e n ( θ ) ⋅   cos ⁡ θ

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