Enunciado

A estrutura de dois elementos está sujeita a um carregamento distribuído mostrado. Determine a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média que agem nas seções a - a e b - b . A seção transversal quadrada do elemento C B tem 35   m m . Considere w   =   8   k N / m .

Passo 1

E aí meus consagrados como vocês estão? Prontos para mais uma questão maneira?

Vamos lá, antes de tudo vamos deixar aqui nossos dados que foram fornecidos pelo enunciado de acordo com a notação que usaremos, assim, temos

w = 8 k N m ,     a = 3 m ,     b = 4 m ,     A = 0,035   m 2

Como temos um triângulo retângulo é natural pensarmos no teorema de Pitágoras e é exatamente isso que vamos utilizar assim vamos ter

c = a 2 + b 2 = 3 2 + 4 2 = 5 m ,     h = a c = 3 5 ,     v = b c = 4 5

Para facilitar nosso problema na hora de fazer um diagrama de corpo de livre vamos concentrar nossa carga distribuída w no centro da barra de 3 m e seu módulo valerá

w = 8 k N m ⋅ 3 m = 24   k N

Feitas essas considerações vamos lembrar como se calcula a tensão normal média e a tensão de cisalhamento média, basta seguir as seguintes fórmulas:

σ m e d = P A   e   τ m e d = F A c

Com

P: resultante da força normal;

A: Área da seção transversal;

F: Força cortante total;

A c : Área cortante;

Passo 2

Agora é a hora de botar a mão na massa, meus amigos. Bora lá, vamos chamar a barra horizontal de A B e teremos, para essa parte da estrutura, o seguinte diagrama de forças:

Devemos reparar que a força   F a b   pode ser decomposta em uma componente horizontal e uma componente vertical em função de senos e cossenos onde teremos: F a b y = F a b ⋅ v →   F a b = F a b y v

Pois bem, agora vamos utilizar as equações de equilíbrio para esse problema, ou seja, o somatório das forças em uma determinada direção será igual a zero. Para o membro A B teremos (adotando o sentido anti-horário como positivo para o momento):

∑ M a =   0 → B y ⋅ a - w ⋅ a ⋅ 0,5 a = 0 → B y = 0,5 w ⋅ a → B y = 12   k N

O valor de B y no nosso problema vai ser igual o valor de F a b y , assim, nós conseguimos descobrir o valor de F a b fazendo

F a b = 12 k N 4 5 = 15   k N

Pois bem, para a seção a - a já estamos aptos a encontrarmos as tensões normais que serão dadas pelo quociente (divisão) da força normal pela área, então, encontraremos com isso o seguinte

σ a - a = F a b A = 15 k N 35 2 ⋅ 10 - 6 m 2

Lembrando que 1 N m 2 = 1 P a podemos fazer a conversão para a unidade mais usual obtendo

σ a - a ≈ 12,24 M P a

Já para a tensão de cisalhamento pra seção a - a ela é nula por conta da forma como a inclinação estará então teremos τ a - a = 0 M P a .

Passo 3

Vamos lá meu pequeno gafanhoto, não desista, você já chegou até aqui! Para finalizar nosso problema resta-nos, agora, calcular as mesmas tensões calculadas anteriormente só que agora para a seção b - b , para isso vamos utilizar a componente horizontal da nossa força F a b dada por

F a b ⋅ c o s θ = F a b x → F a b x = 15 k N ⋅ 3 5 = 9 k N

Agora o passo final pra concluirmos esse problema só substituindo dados é calcular a área da seção b - b . Para esse caso, a área não é completamente retinha, então, como ela apresenta uma inclinação, sua área será dada por

A b - b = A cos ⁡   θ   = 35 2 ⋅ 10 - 6   m 2 3 5 ≈ 2,041 ⋅ 10 - 3   m 2

Dessa forma, agora é só partir pro abraço e substituir valores nas fórmulas das tensões de tal forma que obteremos:

σ b - b = F a b x A b - b = 9 k N 2,041 ⋅ 10 - 3   m 2 ≈ 4,41 M P a

τ b - b = F a b y A b - b = 12 k N 2,041 ⋅ 10 - 3   m 2 ≈ 5,88 M P a

Acabamos mais uma, até que foi de boas, né?

Resposta

S e ç ã o   a - a   :   τ a - a = 0 M P a     e   σ a - a = 12,24 M P a

S e ç ã o   b - b   :   τ b - b = 5,88 M P a   e   σ b - b = 4,41 M P a

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