Enunciado

A prancha de madeira está sujeita a uma força de tração de 425   N . Determine a tensão de cisalhamento média e a tensão normal média desenvolvidas nas fibras da madeira orientadas ao longo da seção a - a a 15 ° em relação ao eixo da prancha.

Passo 1

Fala ai pessoal, bora matar mais essa?

Então, ele quer a tensão normal média e a tensão de cisalhamento médio para esse plano inclinado a - a .

E para achar essas tensões, a primeira coisa que precisamos fazer é achar a força normal e a de cisalhamento internas resultantes nessa seção a - a .

Para fazer isso, precisamos cortar nossa peça na seção que ele pediu, escolher um lado e fazer o diagrama de corpo livre da situação nova. Vamos cortar nosso elemento em a - a e olhar só para a direita. Assim:

Aí percebe que a gente posiciona nessa seção vetores que representam essas forças internas. A força normal N a que deve ser perpendicular a seção a - a , e a força de cisalhamento V a que deve ser paralela a seção.

O sentido dos vetores aqui é mais arbitrário mesmo, tá? Cê escolhe. O importante é respeitar os referenciais que escolher nas continhas. Vamos seguir!

Passo 2

Agora é utilizar as equações de equilíbrio nas duas direções e achar N a e V a . Para a vertical:

∑ F y = 0 N a - 425   s e n   15 ° = 0 N a = 425   s e n   15 °  

E para a horizontal:

∑ F x = 0 425 cos ⁡ 15 ° - V a = 0

V a = 425 cos ⁡ 15 °

Passo 3

Aí a gente quer achar as tensões médias. A tensão média é dada pela razão entre carga e área da seção onde ela é aplicada. Repara que só falta a gente achar a área da seção A então para usar achar as tensões.

O desenho da seção fica dessa forma.

Onde h 0   e   b são as dimensões da seção transversal da peça. A força vai atuar no plano inclinado (área sombreada), de área:

A = b h

Sendo que podemos achar h usando trigonometria:

s e n θ = h 0 h → h = h 0 s e n θ

h = h 0 s e n 15

E a área fica:

A = b × h = b h 0 s e n 15

Passo 4

Agora é calcular as tensões. A tensão normal média vai ser:

σ = N a A

Substituindo nossas expressões de N a e A :

σ = 425   s e n   ( 15 ) b h 0 s e n 15

σ = 425   s e n ² ( 15 ) b h 0

Sendo b = 25   m m = 25 10 - 3 m e h 0 = 75   m m = 7 5 10 - 3 m :

σ = 425 × s e n 2 15 25   10 - 3 × 75 10 - 3

σ = 0,0152 M P a

Passo 5

E a de cisalhamento é

τ = V a A

Substituindo nossas expressões de V a e A :

σ = 425   c o s   ( 15 ) b h 0 s e n 15

τ = 425   c o s 15 s e n 15 b h 0

Sendo b = 25   m m = 25 10 - 3 m e h 0 = 75   m m = 75 10 - 3 m :

τ = 425 × s e n 15 × c o s   15 25 10 - 3 × 75 10 - 3 = 0,0566 M P a

Resposta

σ = 0,0152 M P a

τ = 0,0566 M P a

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