Enunciado

A barra uniforme de massa m e comprimento L está deslocando horizontalmente com uma velocidade v sobre seus roletes leves na extremidade. Determine a força sob o rolete B logo após ele passar pelo ponto C e antes da interferência mecânica com a trajetória. Em que velocidade v a força sobre o rolete B será nula?

Passo 1

Após passar pelo ponto C , o fato de que o rolete B se mantém em uma trajetória circular garante que sua aceleração na vertical para baixo é:

a B = v 2 r

E como o centro de massa da barra está exatamente no ponto médio entre A e B , a aceleração do centro de massa é:

a c m = a A + a B 2 = 0 + v 2 / r 2 = v 2 2 r

E conforme a barra segue a trajetório circular, ela tende a rodar em torno do próprio centro de massa.

Podemos calcular a aceleração angular associada a esse movimento usando a aceleração a B do rolete B :

α = a B L = v 2 L r

Passo 2

Podemos usar esses dados para encontrar uma expressão para a força F B sobre o rolete B em função da velocidade.

Vamos calcular o momento resultante em relação ao ponto A (dessa força a única força desconhecida com momento não-nulo será F B ):

∑ M A = m a c m d + I - α

As forças que produzem momento em relação ao ponto A são o peso e F B , e já conhecemos suas distâncias até A :

∑ M A = m g L 2 - F B L

E para o primeiro termo do lado direito podemos substituir com as expressões que conhecemos:

m a c m d = m v 2 2 r L 2

E o mesmo vale para segundo termo do lado direito:

I - α = 1 12 m L 2 v 2 L r

Então:

m g L 2 - F B L = m v 2 2 r L 2 + 1 12 m L 2 v 2 L r

Temos que isolar F B nessa equação. Vamos simplificar um pouco e dividir tudo por m L :

g 2 - F B m = v 2 4 r + v 2 12 r

g 2 - F B m = 4 v 2 12 r

F B = m g 2 - v 2 3 r

Passo 3

E queremos saber qual deve ser a velocidade v para que F B se anule. Para isso basta substituir na nossa fórmula:

0 = m g 2 - v 2 3 r

v 2 3 r = g 2

v = 3 2 g r

Resposta

A força será nula quando v = 3 2 g r .

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