Enunciado

O cilindro maciço homogêneo é liberado a partir do repouso sobre a rampa. Se θ = 40 ° , μ s = 0,30 e μ k = 0,20 , determine a aceleração do centro de massa G e a força de atrito exercida pela rampa sobre o cilindro.

Passo 1

Vamos supor que o cilindro rola sem deslizar. Nesse caso, podemos fazer a seguinte afirmação sobre a relação entre a aceleração do centro de massa e a aceleração angular:

a = r α = 0,150   α

E o diagrama das forças que agem sobre o cilindro fica da seguinte forma:

E então podemos aplicar a segunda lei de Newton em cada direção:

∑ F x = - F + m g sen ⁡ 40 ° = m a

∑ F y = N - m g cos ⁡ 40 ° = 0

E podemos escrever também uma equação para os momentos em relação ao centro do cilindro:

∑ M G = I α

F r = 1 2 m r 2 α

Passo 2

E assim ficamos com um sistema de quatro equações e quatro variáveis desconhecidas:

a = 0,150 α - F + m g sen ⁡ 40 ° = m a N - m g cos ⁡ 40 ° = 0 F r = 1 2 m r 2 α

Vamos substituir os valores numéricos:

a = 0,150 α - F + 22,7 = 3,6 a N - 27,1 = 0 F = 0,27   α

E agora resolver para encontrar F e a . Substituindo a primeira equação na terceira:

F = 0,27 a 0,150 = 1,8   a

E dividindo a segunda equação por dois temos o seguinte:

F 2 = 11,35 - 1,8   a

E pelo resultado anterior:

F 2 = 11,35 - F

3 2 F = 11,35         ⇒         F = 7,57   N

E substituindo no resultado anterior para encontrar a :

a = F 1,8 = 7,57 1,8 = 4,20   m / s 2  

Resposta

A aceleração é a = 4,20   m / s 2 e a força de atrito é F = 7,57   N .

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