Enunciado

A nave espacial está girando com uma velocidade angular constante ω em torno do eixo z , ao mesmo tempo em que seu centro de massa O está se deslocando com uma velocidade v 0 na direção y . Se um jato tangencial de peróxido de hidrogênio é lançado quando a nave se encontra na posição mostrada, determine a expressão para a aceleração absoluta do ponto A na borda da nave espacial no instante em que a força do jato é F . O raio de giração da nave em relação ao eixo z é k e sua massa é m .

Passo 1

Inicialmente a nave não tem nenhum tipo de aceleração, já que suas velocidades linear e angular são constantes. Mas o ponto A tem uma aceleração centrípeta, já que ele está em rotação em torno do ponto O com velocidade angular ω :

a c = ω r 2

Precisamos calcular as acelerações α (angular) e a (linear) geradas pela força F . Começando pela aceleração angular:

∑ M O = I O α

O momento de inércia da nave pode ser calculado em função da sua massa m e do seu raio de giração k :

I O = m k 2

E o momento gerado pela força F é:

M = F r

Portanto:

α = M I O = F r m k 2

Já a aceleração a do centro de massa da nave pode ser calculado utilizando apenas a segunda lei de Newton na direção da força F :

∑ F = m a c m

a c n = F m

Passo 2

Então vamos pensar na aceleração total agindo sobre o ponto A , para isso precisamos considerar as direções e os sentidos (tratar as acelarações de forma vetorial):

A aceleração centrípeta aponta para o centro da nave, ao longo do sentido positivo do eixo y , então:

a → c = r ω 2   j ^

Associada à aceleração angular α , podemos encontrar o módulo da aceleração tangencial no ponto A (a aceleração que faz com que ω aumente):

a t = r α

E no instante em que a força começa a agir, essa aceleração é tangente à trajetória de rotação da nave, ou seja, aponta no sentido negativo do eixo x :

a → t = - r α   i ^

Já a aceleração linear a → c m aponta no mesmo sentido da força F , no sentido negativo do eixo y :

a → c m = - F m   j ^

Agora é só somar as três:

a → = a → c m + a → t + a → c

a → = - F m j ^ - r α i ^ + r ω 2 j ^

E substituindo a expressão que encontramos para α :

a → = - F r 2 m k 2   i ^ + r ω 2 - F m j ^  

Resposta

A aceleração absoluta do ponto A é a → = - F r 2 m k 2   i ^ + r ω 2 - F m j ^ .

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