Enunciado

A barragem de concreto por ‘gravidade’ é mantida no lugar por seu próprio peso. Se a densidade do concreto é ρ c = 2,5 M g / m ³ , e a água tem uma densidade de ρ w = 1,0   M g / m ³ , determine a menor dimensão d que impedirá que a barragem tombe em torno de sua extremidade A .

Passo 1

Falaa! Ele quer saber o comprimento d para que essa barragem não tombe por causa da pressão da água.

Um cara chamado Pascal enunciou uma vez que, um fluido em repouso cria uma pressão p em um ponto que é a mesma em todas as direções. A intensidade de p , medida como uma força por área unitária, depende do peso específico γ ou densidade de massa ρ do fluido e da profundidade z do ponto a partir da superfície do fluido. Podemos escrever a expressão da pressão como:

p = γ z = ρ g z

Vamos considerar que a barragem tem 1 metro de largura, beleza? Tendo isso em mente, vamos descobrir a intensidade de carga que a água causa na barragem:

w = p b

w = ρ g z b

w = 1000 9,81 6 1 = 58860   N / m

Passo 2

Podemos imaginar que a distribuição de pressão na parede da barragem tem formato triangular. Vale zero na superfície e w no fundo. Aí a gente pode calcular a força resultante e a posição dela pelas regrinhas de estática:

A força resultante da água na barragem pode ser escrita como a área desse triângulo que representa a distribuição

F = 1 2 w z

F = 1 2 58860 6

F = 176580   N

Essa força atua através do centroide dessa área, logo h = 1 3 6 = 2 m

Passo 3

Nos falta ainda saber o valor do peso da barragem, W . Logo, o valor de W será escrito da seguinte forma:

W = 1 2 b ρ c g z d

Onde b é largura da barragem que vamos considerar como 1, ρ c é a densidade do concreto, g é a gravidade, z a profundidade da barragem e d quem a gente quer achar.

Substituindo os valores na expressão, temos:

W = 1 2 1 2500 9,81 6 d

W = 73575 d   N

Como a seção é triangular, esse peso vai estar posicionado no centroide do triângulo, em:

d 3

Passo 4

Um DCL do que está acontecendo:

Agora que temos todas as informações de forças atuando na barragem, vamos calcular o momento no ponto A , a fim de encontrarmos o valor de d . O somatório dos momentos para sistemas em equilíbrio é igual a zero. Assim, adotando como sentido positivo anti-horário, temos:

∑ M A = 0

- F 2 + W 2 3 d = 0

- 176580 2 + 73575 d 2 3 d = 0

d = 2,68   m

Resposta

A menor dimensão d que impedirá que a barragem tombe é:

d = 2,68   m

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