Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

Se a bola tem massa de 30   k g e uma velocidade de v = 4   m / s no instante em que ela está no ponto mais baixo, θ = 0 ° , determine a tração da corda neste instante. Além disso, determine o ângulo θ até o qual a bola oscila e momentaneamente para. Despreze a dimensão da bola.

Passo 1

A chave de problemas de cinética está no diagrama de corpo livre. Ao identificarmos todas as forças que o nosso problema está sujeito, conseguiremos visualizar o que há de ser feito mais facilmente.

Relembrando do capítulo de cinemática, vimos que a aceleração centrípeta de um corpo é dada por:

a n = v 2 ρ

Temos dois problemas nesta questão. Precisamos determinar a tração no momento em que θ = 0 ° . Depois, precisamos determinar o ângulo máximo que ele atinge (logo, a velocidade é nula neste momento!).

Passo 2

Vamos trabalhar inicialmente a primeira parte da questão. Portanto, vamos esboçar o diagrama de corpo livre quando a bola está no seu ponto mais baixo. Logo, temos:

Portanto, a bola está sujeita apenas a uma força de tração e a força peso na direção normal.

Passo 3

Como a bola possui uma componente normal da aceleração na direção normal, temos o seguinte somatório de forças:

∑ F n = m ⋅ a n = m ⋅ v 2 ρ

T - P = m v 2 ρ

T = 30 ⋅ 9,81 + 30 ⋅ 4 2 4

T = 414,3   N

Passo 4

Agora vamos fazer o diagrama de corpo livre para a segunda parte da questão. Temos então:

A única mudança é uma mudança na direção do eixo normal. Como a força peso é sempre para baixo e a tração da corda é na direção normal, temos uma mudança no somatório das forças.

Passo 5

Vamos fazer um somatório de forças na direção tangencial. Desta forma, temos:

∑ F t = m ⋅ a t

- m g sen ⁡ θ = m a t

a t = - 9,81 sen ⁡ θ

Para descobrirmos o valor de θ , vamos ter de voltar as equações da cinemática. O ângulo máximo será atingido no momento em que a velocidade da bola for nula. Lembrando a equação que relaciona aceleração e velocidade através da posição da partícula, temos:

∫ 0 s a   d s = ∫ 4 0 v   d v

Como s = 4 θ , podemos mudar a variável da integral. Para isto, basta fazermos d s = 4 d θ e mudarmos os limites de integração. Obtemos então:

∫ 0 θ - 9,81 sen ⁡ θ ⋅ 4   d θ = ∫ 4 0 v   d v

39,24 cos ⁡ θ - 1 = - 4 2 2

cos ⁡ θ = 0,796

θ = 37,2 °

Resposta

T = 414,3   N

θ = 37,2 °

Exercícios de Livros Relacionados

Um aluno está descendo de skate uma rampa de 6,0 m de comprimento e in
Uma pessoa cujo peso é 5,20 10 2 N está sendo puxada para cima vertica
Calcule a integral. ∫     x e 2 x 1 + 2 x 2   d x
1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios