Enunciado

Uma bola tem massa m e está ligada à corda de comprimento l . A corda está amarrada no topo a uma argola móvel e é dada uma velocidade v 0 à bola. Demonstre que o ângulo θ que a corda faz com a vertical na medida em que a bola se move em torno da trajetória circular tem de satisfazer a equação tg ⁡ θ sen ⁡ θ = v 0 2 / g l . Despreze a resistência do ar e a dimensão da bola.

Passo 1

A chave de problemas de cinética está no diagrama de corpo livre. Ao identificarmos todas as forças que o nosso problema está sujeito, conseguiremos visualizar o que há de ser feito mais facilmente.

Relembrando do capítulo de cinemática, vimos que a aceleração centrípeta de um corpo é dada por:

a n = v 2 ρ

Precisamos provar uma relação. Portanto, já sabemos a resposta que devemos obter! Isto por si só já facilita bastante o problema.

Passo 2

Vamos começar por esboçar o diagrama de corpo livre do nosso problema. Desta forma, temos:

Para a nossa bola, temos apenas a ação da corça peso para baixo e a tração.

Passo 3

Vamos começar por fazer o somatório das forças na direção normal da trajetória. Desta forma, temos:

∑ F n = m ⋅ a n

T ⋅ sen ⁡ θ = m ⋅ v 0 2 ρ

T = m v 0 2 sen ⁡ θ ρ

Como o raio de curvatura é ρ = l sen ⁡ θ , temos:

T = m v 0 2 l sen 2 ⁡ θ

Passo 4

Agora, vamos analisar o somatório de forças na direção do eixo b , perpendicular ao plano da trajetória. Nesta direção, a bola não está sujeita a acelerações. Portanto, temos:

∑ F b = m ⋅ a b = 0

T ⋅ cos ⁡ θ - P = 0

m g = m v 0 2 l sen 2 ⁡ θ ⋅ cos ⁡ θ

tg ⁡ θ sen ⁡ θ g = v 0 2 g l

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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