Enunciado

Prove a terceira lei do movimento de Kepler. Dica: utilize as equações 13.19, 13.28, 13.29 e 13.31.

Passo 1

A terceira lei do movimento de Kepler pode ser resumida como:

o quadrado do período de qualquer planeta é diretamente proporcional ao cubo do eixo maior da sua órbita.

O período é dado por T e o maior eixo é dado por a .

Suponha que:

O raio da Terra é 6378 km;

A massa da Terra é 5,976(1024) kg;

A massa do Sol é 1,99(1030) kg;

A constante gravitacional é de G = 66,73 10 - 12   m 3 / ( k g   s 2 ) .

Vamos utilizar as equaçõs sugeridas pelo enunciando para provar tal lei.

Passo 2

A Equação 13.19 é dada por

1 r = C cos ⁡ θ + G M h 2

Para θ = 0 ° e θ = 180 ° , ou seja, os extremos de uma órbita, temos que

1 r p = C + G M h 2

1 r a = - C + G M h 2

Onde C é uma constante que pode ser determinada a partir de dados obtidos para a posição e velocidade do corpo analisado. Nesta questão, como não temos esses dados, queremos eliminá-la da equação.

Portanto, somaremos as duas equações, obtendo

1 r p = C + G M h 2 1 r a = - C + G M h 2

1 r p + 1 r a = 2 G M h 2

r a + r P r p r a = 2 G M h 2

Passo 3

Temos as equações 13.28 e 13.29 a seguir

a = r P + r a 2

b = r P r a

Substituindo esses valores na equação obtida no passo 2, obtemos

2 a b 2 = 2 G M h 2

Além disso, temos a Equação 13.31, exibida abaixo,

T = π h r P + r a r P r a

Substituindo os valores de a e b , obtemos

T = π h ( 2 a ) ( b )

Passo 4

Queremos achar uma relação entre T e a .

Vimos que

T = π h ( 2 a ) ( b )

Logo,

b = T h 2 π a

Elevando o valor de b ao quadrado, obtemos

b 2 = T 2 h 2 4 π 2 a 2

Substituindo este valor em

2 a b 2 = 2 G M h 2

Encontramos,

2 a   4 π 2 a 2 T 2 h 2 = 2 G M h 2

4 π 2 a 3 T 2 h 2 = G M s h 2

T 2 = 4 π 2 G M s a 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um pequeno cursor de massa m recebe uma velocidade inicial de módulo v 0 sobre a guia horizontal circular fabricada a partir de uma haste delgada. Se o coeficiente de atrito dinâmico é μ k , determine
A nave espacial P está na órbita elíptica mostrada. No instante representado, sua velocidade é v = 4230m / s . Determine os valores correspondentes de r ˙ , θ ˙ , r ¨ e θ ¨ . Utilize g = 9,825m / s 2
A partícula P é liberada no instante de tempo t = 0 a partir da posição r = r 0 no interior do tubo liso sem velocidade em relação ao tubo, que é acionado na velocidade angular constante ω 0 em torno
Um carro de 1,8 Mg desloca-se aclive acima com velocidade constante de 80 km/h. Determine a reação normal da estrada sobre o carro quando ele chega ao ponto A . Despreze a sua dimensão.
Uma esquiadora parte do repouso em A (10m, 0) e desce o declive liso que pode ser aproximado por uma parábola. Se a esquiadora tem massa de 52 kg, determine a força normal que o solo exerce sobre ela