Enunciado

Se o cabo de 45   m de comprimento tem uma massa por unidade de comprimento de 5   k g / m , determine a equação da curva catenária do cabo e a tração máxima desenvolvida no cabo.

Passo 1

O problema quer que a gente encontre equação da curva e a tração máxima no cabo.

Vamos começar fazendo um diagrama de corpo livre, assim:

Onde o carregamento pode ser descrito como:

w s = 5 ( 9,81 ) = 49,05   k N / m

Percebeu aí que o problema não deu o peso por unidade de comprimento e sim a massa, por isso eu multipliquei pela gravidade, cuidado com isso, as vezes aparece.

Passo 2

Nós notamos que ( 0,0 ) na figura do problema, é o ponto mais baixo do cabo, vamos pegar a segunda derivada da equação do cabo, logo:

d 2 y d 2 x = w ( s ) F H = 49,05 F H 1 + d y d x 2

Se nós consideramos u = d y d x , então d u d x = d 2 y d 2 x , logo:

d u d x = d y 1 + u 2 = 49,05 F H d x

E integrando isso:

ln ⁡ u + 1 + u 2 = 49,05 F H x + C 1

Vamos encontrar C 1 , pra isso a gente usa a condição inicial, de que na origem, d y d x = 0 e x = 0 então:

0 = 49,05 F H ( 0 ) + C 1

Logo C 1 é igual a 0 .

Ficamos com:

ln ⁡ u + 1 + u 2 = 49,05 F H x

Agora, vamos dar uma ajeitada e tentar simplicar isso, calma, eu sei que parece muito estranho:

u + 1 + u 2 = e 49,05 F H x

d y d x = u = e 49,05 F H x - e - 49,05 F H x 2

Agora lembra que sinh ⁡ x = e x - e - x 2 , aí ficamos com:

d y d x = sinh ⁡ 49,05 F H x

Integramos mais uma vez para chegarmos na função não derivada:

y = F H 49,05 ⋅ cosh ⁡ 49,05 F H x + C 2

Testando a equação na condição inicial, onde x = 0 e y = 0 , encontramos que:

C 2 = - F H 49,05

Logo, ficamos com:

y = F H 49,05 ⋅ cosh ⁡ 49,05 F H x - 1

Passo 3

Tá quase acabando, vamos agora pegar o diagrama do corpo livre, assim:

E usamos as equações de equilíbrio nos dois eixos:

x →   T cos ⁡ θ - F H = 0

y →   T s en ⁡ θ - 5 ( 9,81 ) s = 0

Eliminando T , temos:

d y d x = tan ⁡ θ = 49,05 s F H

Passo 4

Então igualamos a equação derivada:

49,05 s F H = sinh ⁡ 49,05 F H x

Assim encontramos:

s = F H 49,05 sinh ⁡ 49,05 F H

Substitumos o x por 20 , e já sabemos que o comprimento L é 45   m :

L = 45 = 2 F H 49,05 sinh ⁡ 49,05 F H 20

Logo, achamos por tentativa e erro que:

F F H = 1153,41   N

E substituímos F H na função que já tínhamos encontrado:

y = 1153,41 49,05 ⋅ cosh ⁡ 49,05 1153,41 x - 1

y = 23,5 [ cosh ⁡ 0,0425 x - 1 ]

Passo 5

Agora, para achamos a tração máxima, a gente sabe que ela ocorre no maior ângulo, e visualmente percebemos que são nos pontos A e B , então podemos usar qualquer um.

Lembramos que a derivada é a tangente de um ângulo, logo:

θ m a x = tan - 1 ⁡ d y d x = tan - 1 ⁡ sinh ⁡ 49,05 F H 20 = 43,74 °

Por fim, achamos a tração máxima:

T m a x = F H cos ⁡ θ m a x = 1153,41 cos ⁡ 43,74 ° = 1196,36   N = 1,6   k N

Resposta

F H = 1153,41   k N

y = 23,5 [ cosh ⁡ 0,0425 x - 1 ]

T m a x = 1,6   k N  

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O cabo suporta três cargas mostradas. Determine as flechas y B e y D dos pontos B e D . Considere P 1 = 2000N , P 2 = 1250N .
Se os cilindros C e D pesam cada um 5k N , determine a flecha máxima h e o comprimento do cabo entre as polias lisas em A e B . A viga tem um peso por unidade de comprimento de 2k N / m .
Mostre que a curva de deflexão do cabo discutido no Exemplo 7.13 se reduz à equação 4 no exemplo 7.12 quando a função de cosseno hiperbólico é expandida em termos de uma série e apenas os dois primeir
Se a força de reboque horizontal for T = 20k N e a corrente tem uma massa por unidade de comprimento de 15k g / m , determine a flecha máxima h . Despreze o efeito da flutuação da água sobre a corrent
Se h = 5m , determine a tração máxima desenvolvida na corrente e seu comprimento, a corrente tem uma massa por unidade de comprimento de 8k g / m .