Enunciado

Se os cilindros C e D pesam cada um 5   k N , determine a flecha máxima h e o comprimento do cabo entre as polias lisas em A e B . A viga tem um peso por unidade de comprimento de 2   k N / m .

Passo 1

O problema quer que a gente encontre a flecha máxima h e o comprimento do cabo entre as polias lisas A e B .

Vamos começar observando um pouco o problema, assim a gente pode fazer um diagrama de corpo livre, assim:

Agora, vamos analisar as forças no eixo y , lembrando que o corpo está em equilíbrio:

∑ F y = 0

2 5 ⋅ sen ⁡ θ m a x - 2 3,6 = 0

sen ⁡ θ m a x = 3,6 5

E encontramos o ângulo máximo:

θ m a x = 46,05 °

Agora, a gente pode obter:

F H = T m a x ⋅ cos ⁡ θ m a x = 5 ⋅ cos ⁡ 46,05 ° = 3,47   k N

Passo 2

Nós notamos que ( 0,0 ) na figura do problema, é o ponto mais baixo do cabo, vamos pegar a segunda derivada da equação do cabo, logo:

d 2 y d 2 x = w x F H = 2 3,47 = 0,57637

E integrando isso:

d y d x = 0,57637 x + C 1

Vamos encontrar C 1 , pra isso a gente usa a condição inicial, de que na origem, d y d x = 0 e x = 0 então:

d y d x = 0 = 0,57673 0 + C 1

Logo C 1 é igual a 0 .

Ficamos com:

d y d x = 0,57673 x

Integramos mais uma vez para chegamos na função não derivada:

y = 0,57673 x 2 + C 2

Aplicamos a condição inicial também para descobrirmos C 2 :

0 = 0,28836 0 2 + C 2

Encontramos que C 2 também é nulo. Então, ficamos com a função do cabo como sendo:

y = 0,28836 x 2

Passo 3

Agora, descobrir h , usando y = h e x = 1,8   m , que vimos no problema, aplicando na função, fica:

h = 0,28836 1,8 2 = 0,934   m

Passo 4

Por ultimo, vamos ter que usar uma integral para calular o comprimento L do cabo, então vamos calcular equação diferencial do comprimento:

d s = d x 2 + d y 2 = 1 + d y d x 2 d x

Lembra, que a gente já tem essa primeira derivada, vamos substituir ela, e fica:

d s = 1 + 0,57673 x 2   d x

d s = 1 + 0,3326 x 2   d x

Vamos integram agora para descobrir o comprimento total:

Obs.: A gente vai calcular a integral apenas para a parte positiva e multiplicar por 2 .

L = ∫ d s = 2 ∫ 0 1,8 1 + 0,3326 x 2   d x

Resolvendo essa integral, obtemos como resposta:

L = 4,169   m

Resposta

h = 0,934   m

L = 4,169   m

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