Enunciado

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Cada uma das duas barras esbeltas uniformes de 1,5 kg é articulada livremente em A, com seu pequeno rolete de guia, na extremidade superior, livre para se deslocar na guia horizontal. As barras são sustentadas em suas posições de equilíbrio a 45 ° pela mola vertical com rigidez 105 N/m. Se o ponto A recebe um deslocamento vertical muito pequeno e em seguida é solto, calcule a frequência natural do movimento resultante.

Passo 1

Bom pessoal, o conceito do centro instantâneo de velocidade nula vai nos ajudar a tornar mais esta questão mais simples. Vejamos a figura com uma barra:

No mecanismo, o ponto A se desloca na vertical e o ponto B está restrito ao movimento horizontal. Traçando perpendiculares aos vetores velocidades, encontramos o centro instantâneo C. Associado aos ângulos de 45 graus, vale a igualdade v A = v B .

Se considerarmos que o deslocamento do ponto A foi de x , a velocidade neste ponto é a sua derivada x ˙ . Deste modo, a velocidade angular é dada por:

ω = v A r A C = x ˙ l 2

Agora, podemos calcular a energia cinética do sistema em relação ao eixo C. Com o auxilio da figura acima e usando o teorema dos eixos paralelos, temos que:

I C = I G + m d 2 = 1 12 m l 2 + m l 2 2

I C = 1 3 m l 2

Agora vamos para o cálculo da energia.

A energia cinética no ponto C é composta apenas pela componente rotacional 1 2 I C ω 2 , pois o centro instantâneo possui velocidade nula 1 2 m v 2 = 0 .

Como são 2 barras, a energia cinética será a soma das duas.

T = 2 1 2 I C ω 2 = 1 3 m l 2 x ˙ l 2 2

T = 2 3 m x ˙ 2       ( 1 )

Passo 2

Agora vamos para a parte de energia potencial.

A energia potencial do sistema é igual soma das variações da energia potencial elástica e da gravitacional.

Lembrando sempre que no equilíbrio a mola está estendida de   δ e s t , devido ao peso das barras.

Pela equação de equilíbrio:

∑ F y = 0 → k δ e s t = 2 m g - 2 N

Pela simetria: N = m g / 2 , então

δ e s t = m g / k

Agora voltando para o calculo da energia, quando a mola é esticada um x para baixo:

V = V e + V g = 1 2 k x + δ e s t 2 - 1 2 k δ e s t 2 - m g x

V = 1 2 k x 2 + k δ e s t x + 1 2 k δ e s t 2 - 1 2 k δ e s t 2

V = 1 2 k x 2               ( 2 )

Agora, vamos para a equação de energia total do sistema. Basta juntar as equações (1) e (2):

E = T + V

E = 2 3 m x ˙ 2 + 1 2 k x 2

Como o sistema é conservativo, d E d t = 0 (Não esquecer a regra da cadeira):

d E d t = 4 3 m x ˙ x ¨ + k x x ˙ = 0

x ¨ + 3 k 4 m x = 0

Agora temos uma equação nos moldes da equação do movimento harmônico. Com isto, sabemos a frequência natural:

ω n = 3 k 4 m = 3 ( 1050 ) 4 1,5 = 22,91   r a d / s  

Podemos relacionar a frequência à velocidade angular:

ω n = 2 π f n

Substituindo na equação, temos que:

f n = 1 2 π 22,91 = 3,65   H z

Resposta

f n = 3,65   H z

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