Enunciado

Ver Outros Exercícios
desse livro

A haste esbelta uniforme de comprimento l e massa m 2 está fixada ao disco uniforme de raio l / 5 e massa m 1 . Se o sistema é apresentado em sua posição de equilíbrio, determine a frequência natural ω n e a velocidade angular máxima ω para pequenas oscilações de amplitude θ 0 em torno do eixo O.

Passo 1

Bom pessoal, como o enunciado pede a amplitude em torno do eixo O, vamos usar este ponto como sendo o centro de nosso sistema. Então, podemos calcular o momento de inercia da marra no eixo O usando o teorema dos eixos paralelos. Veja o diagrama:

Então, o momento de inércia em relação ao eixo O pode ser escrito como:

I O = I m 1 + I m 2

O momento de inércia de um disco vale: I m 1 = 1 2 m 1 r 2 = 1 2 m 1 l 5 2

O momento de inércia de uma barra vale: I = 1 12 m l 2 + m d 2

Portanto, substituindo na equação acima:

I O = 1 2 m 1 l 5 2 + 1 12 m l 2 + m l 2 - l 5 2

I O = 1 50 m 1 l 2 + 1 12 m 2 l 2 + m 2 3 l 10 2

I O = 1 50 m 1 l 2 + 13 75 m 2 l 2

Agora vamos para a parte de energia.

Como sabemos, em um movimento harmônico simples, a energia é um balanço entre a energia cinética e a energia potencial, como mostra a equação:

E = T + V

Como o sistema é conservativo, a energia total E é uma constante. Além disso, nós temos que quando a energia cinética é máxima, a energia potencial é nula, e vice versa. Veja só:

Q u a n d o   T → m a x ,   e n t ã o   V = 0   e   E = T

Q u a n d o   V → m a x ,   e n t ã o   T = 0   e   E = V

Podemos considerar que neste instante, quando θ = 0 , a mola está no seu comprimento natural. Ou seja, a energia potencial elástica é nula.

θ = 0   → V = 0

Agora, vamos voltar para a equação do movimento harmônico e escrever de uma maneira mais completa de acordo com a questão.

E = T + V

Onde a energia cinética é composta apenas pela energia cinética rotacional 1 2 I O θ ˙ 2 , pois o eixo O não possui velocidade.

A equação da energia cinética fica assim:

T = 1 2 I O θ ˙ 2 = 1 2 1 50 m 1 l 2 + 13 75 m 2 l 2 θ ˙ 2

Agora, para analisar a energia potencial elástica, vamos supor uma oscilação de θ no sistema. Veja como fica o diagrama:

No instante representado acima, a deflexão da mola vale x = 3 l 5 s e n θ . Mas para pequenos ângulos, vale a aproximação:

s e n θ = θ

Então temos que:

x = 3 l 5 θ

A energia potencial elástica fica da seguinte forma:

V = 1 2 k x 2 = 1 2 k 3 l 5 θ 2 = 9 50 k l 2 θ 2

Agora podemos substituir os valores na equação da energia:

E = 1 2 1 50 m 1 l 2 + 13 75 m 2 l 2 θ ˙ 2 + 9 50 k l 2 θ 2

E = 1 10 0 m 1 l 2 + 13 150 m 2 l 2 θ ˙ 2 + 9 50 k l 2 θ 2

Como o sistema é conservativo, d E d t = 0 (Não esquecer a regra da cadeira):

d E d t = 1 50 m 1 l 2 + 13 75 m 2 l 2 θ ˙ θ ¨ + 9 25 k l 2 θ θ ˙ = 0

1 50 m 1 + 13 75 m 2 θ ¨ + 9 25 k θ = 0

Arrumando a equação para o termo a segunda ficar com o coeficiente unitário, temos:

θ ¨ + 9 k 1 2 m 1 + 13 3 m 2   θ = 0

θ ¨ + 54 k 3 m 1 + 26 m 2   θ = 0

Agora temos uma equação nos moldes da equação do movimento harmônico. Com isto, sabemos a frequência natural:

ω n = 54 k 3 m 1 + 26 m 2 = 3 6 k 3 m 1 + 26 m 2

Para encontrar a velocidade angular máxima, vamos partir da equação da solução geral:

θ = θ 0 s e n ( ω n t )

Derivando:

θ ˙ = ω n θ 0 c o s ( ω n t )

Para a velocidade angular ser máxima, o cosseno deve ser o maior possível c o s ω n t = 1 :

θ ˙ m a x = ω n θ 0 = 3 θ 0 6 k 3 m 1 + 26 m 2

Resposta

ω n = 3 6 k 3 m 1 + 26 m 2

θ ˙ m a x = ω = 3 θ 0 6 k 3 m 1 + 26 m 2

Exercícios de Livros Relacionados

Um furo de raio R / 4 é perfurado através de um cilindro de raio R par
Um bloco de massa M = 5,4   k g , em repouso em uma mesa horizont
Uma partícula de 10   g executa um MHS com uma amplitude de 2,0 &
Uma mola de massa desprezível está pendurada no teto com um pequeno ob
Um oscilador harmônico simples é formado por um bloco preso a uma mola