Enunciado

Para a situação descrita no item (a) do Exemplo 13.5, qual deveria ser o valor m da porção de massa de vidraceiro para que a amplitude depois da colisão fosse igual à metade da amplitude original? Para esse valor de m, qual é a fração da energia mecânica original convertida em calor?

Passo 1

Como sabemos que a energia mecânica total em MHS é dada por

E = 1 2 m v x 2 + 1 2 k x 2 = 1 2 k A 2

Onde m é a massa do objeto, v x é a velocidade, k é a constante de força de restauração da força e A é a amplitude de MHS.

De acordo com a situação dada no exemplo 14.5, seja o bloco com velocidade v 1 x ao longo do eixo x e em x=0 a energia total é puramente energia cinética, então a energia mecânica total do bloco e da mola antes da colisão será

E 1 = 1 2 M v 1 x 2 = 1 2 k A 1 2

Onde M é a massa do bloco.

Agora, durante a colisão entre o bloco e a massa, a componente x do momento do sistema bloco-massa é conservada. Como logo após a colisão, a velocidade e a massa do sistema bloco-massa é v 2 x e M + m respectivamente, mm é a massa da massa. Portanto, de acordo com a conservação do momento, obtemos

M v 1 x = M + m v 2 x

v 2 x = M m + M v 1 x

E 2 = 1 2 M + m v 2 x 2

Passo 2

Substituindo o valor de v 2 x da equação (3) para a equação acima, obtemos

E 2 = 1 2 M + m M M + m v 1 x 2

= 1 2 M v 1 x 2 M M + m

= M M + m 2 E 1

1 2 k A 2 2 = M M + m 1 2 k A 1 2 A 2 2 = M M + m A 1 2 A 2 = M M + m A 1 A 2 A 1 = M M + m

Passo 3

De acordo com a pergunta, amplitude após a colisão A 2 é metade da amplitude original A 1 ou seja, A 2 A 1 = 1 2

M m + M = 1 2

M = 1 4 M + m

4 M = m + M

m = 3 M

Visto que para m = 3M, a amplitude do MHS é A 2 = 1 2 A 1 , portanto da equação (1), como sabemos que a energia mecânica total em MHS após a colisão, é dada por

E 2 = 1 2 k A 2 2

E 2 = 1 2 k 1 2 A 1 2

E 2 = 1 2 k 1 2 A 1 2

= 1 4 1 2 k A 1 2

= 1 4 E 1

Da equação (8), podemos ver que a energia mecânica total após a colisão é um quarto da energia original. Assim, o restante da energia é convertido em energia térmica. Assim, a fração da energia mecânica original que é convertida em energia térmica será

E t = 3 4 E 1

Resposta

m = 3 M   e   E t = 3 4 E 1

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