Enunciado

Cada membro da treliça é uniforme e possui peso W . Remova a força externa P e determine a força aproximada em cada membro em decorrência do peso da treliça. Indique se os membros estão sob tração ou compressão. Resolva o problema supondo que o peso de cada membro pode ser representado por uma força vertical, metade da qual é aplicada na extremidade de cada membro.

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Vamos com muita calma nesta questão pois o início dela é bem confusa. Temos uma treliça simétrica sem aplicação de carga externa. Ela está suportando apenas o peso W de cada membro.

Nosso objetivo aqui é determinar se os membros estão sob tração ou compressão e qual o valor desta força, como função de W .

Mas como faremos isto? Nós precisamos começar analisando por algum nó que só tenha, no máximo, 2 incógnitas!

Bom, vamos começar obtendo as reações A x e A y no pino em A e D y no rolete em D . Pela simetria do problema, podemos afirmar que D y = A y .

Além disto, como a treliça possui 7 membros, o peso total é 7 W na direção vertical. Logo, as reações D y e A y serão:

D y = A y = 7 W 2 = 3,5 W

E agora já temos um ponto de partida, o ponto D !

OBS: Poderia ser o ponto A , pois temos A x = 0 , já que não existe nenhuma força horizontal.

Passo 2

Agora vamos utilizar o método dos nós para analisar cada um deles.

Mas, antes disto, devemos sempre lembrar de colocar a componente de metade do peso em cada nó. Isto é, por exemplo, se em um determinado nó chegam 4 membros, então, deverá haver uma força vertical para baixo de intensidade 4 W / 2 .

Para o caso do nó D , como chegam 2 membros, teremos uma força de intensidade W para baixo! Esboçando o diagrama de equilíbrio, temos:

Utilizando as relações de equilíbrio, temos:

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ F D C ⋅ cos ⁡ 60 ° - F D E = 0 3,5 W - F D C ⋅ sen ⁡ 60 ° - W = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos:

F D C = 2,89   W   ( C o m p r e s s ã o )

F D E = 1,44   W   ( T r a ç ã o )

OBS: Lembrem-se, quando a direção da força é no sentido de entrar no nó (seta no nó), a força é de compressão. Caso contrário, é de tração.

Passo 3

Agora, vamos fazer a mesma análise de nós, só que para o nó C .

Como chegam 3 membros para este nó, a força vertical para baixo será igual a 1,5   W . Então, esboçando o diagrama de equilíbrio, temos:

Percebam que a força F D C mudou de sentido em relação ao caso do nó D por questão de ação e reação. Entretanto, continua sendo uma força de compressão na mesma direção!

Continuando, basta agora resolvermos as equações de equilíbrio. Logo,

∑ F x = 0 ∑ F y = 0 ⟹ F C B - F D C ⋅ cos ⁡ 60 ° - F C E ⋅ cos ⁡ 60 ° = 0 F D C ⋅ sen ⁡ 60 ° - F C E ⋅ sen ⁡ 60 ° - 1,5 W = 0

Resolvendo o sistema acima obtemos:

F C E = 1,16   W   ( C o m p r e s s ã o )

F C B = 2,02   W   ( T r a ç ã o )

Passo 4

Para finalizarmos a questão, temos que determinar a força sobre os outros membros.

Entretanto, como a treliça é simétrica, o carregamento nos outros membros simétricos serão o mesmo que obtemos nos passos anteriores. Portanto,

F A B = F D C = 2,89   W   ( C o m p r e s s ã o )

F A E = F D E = 1,44   W   ( T r a ç ã o )

F B E = F C E = 1,16   W   ( C o m p r e s s ã o )

E assim finalizamos a questão!

Resposta

F A B = F D C = 2,89   W   ( C o m p r e s s ã o )

F A E = F D E = 1,44   W   ( T r a ç ã o )

F B E = F C E = 1,16   W   ( C o m p r e s s ã o )

F C B = 2,02   W   ( T r a ç ã o )

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