Enunciado

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desse livro

Cada um dos parafusos de aço A D e C E ( E = 200   G P a ) tem um diâmetro de   8   m m e tem suas extremidades superiores rosqueadas, com rosca simples e de passo igual a 2   m m . Sabendo-se que a porca em C , depois de ser perfeitamente ajustada, é apertada de duas voltas completas, determinar: (a) a tração em cada barra; (b) a deflexão no ponto A da barra rígida A B C .

Passo 1

Vamos entender o que está se passando aqui. Quando o problema fala que a rosca está perfeitamente ajustada isso significa que, inicialmente, não há deformação nas barras. Mas logo depois a rosca C é apertada, isso faz com que o parafuso A D sofra uma deformação e, além disso, apareçam diversas forças no nosso sistema.

Então para resolver vamos seguir a receita de bolo deste tipo de exercício que é basicamente:

  1. Fazer o diagrama de corpo livre.
  2. Achar uma equação que relacione as forças.
  3. Analisar a geometria da figura.
  4. Aplicar as equações de deflexão.
  5. Correlacionar as forças com as deflexões.

Passo 2

Então vamos fazer o diagrama de corpo livre da barra A B C .

Como a força no ponto B não nos interesse e nem nos foi dada então vamos aplicar o momento no ponto B :

∑ M B = 0

Considerando o sentido horário positivo

F A ⋅ 200 - F C ⋅ 150 = 0

200 ⋅ F A = 150 ⋅ F C

F A = 150 200 ⋅ F C

F A = 0,75 ⋅ F C

Passo 3

Agora vamos analisar a geometria dessa figura.

Com o aperto do parafuso o ponto A deslocou-se para o ponto A ' e o ponto C para o ponto C ' enquanto o ponto B permanece no mesmo lugar pois está fixo, sendo assim igual a B ' .

Com isso os dois triângulos A A ' B e C C ' B são semelhantes (olha o ângulo oposto pelo vértice e o ângulo reto).

Então podemos achar a seguinte relação:

δ A 200 = δ C 150

δ A = 200 150 ⋅ δ C

δ A = 1,33 ⋅ δ C

Passo 4

Mas agora observa só uma coisa, o parafuso de A não foi mexido, logo, a deflexão de A é igual a:

δ A = F A ⋅ L A D A ⋅ E

Onde a área é igual a

A = π ⋅ D ² 4

A = π ⋅ 8 ² 4

A = π ⋅ 64 4

A = 50,265   m m ²

δ A = F A ⋅ 20 00 50,265 ⋅ 200

δ A = 0,2 ⋅ F A

Show de bola mas e a deflexão de C ? Pela geometria a gente já sabe que vai dar

δ A = 1,33 ⋅ δ C

Mas e pela fórmula? Ótimo pergunta jovem gafanhoto!

Infelizmente, neste caso, a fórmula não vai nos dar o resultado correto, isso porque não considera o aperto do parafuso.

Como o parafuso gira duas voltas com um passo de 2   m m então o avanço vai ser de

2 ⋅ 2 = 4   m m

Mas ao mesmo tempo que o parafuso avança, a barra C E é comprimida e essa compressão deve ser considerada na deflexão. Assim a deflexão de A vai ser, na verdade um pouquinho menor do que 4 sendo igual a:

δ C = 4 - F C ⋅ L C E A ⋅ E

δ C = 4 - F C ⋅ 25 00 50,265 ⋅ 200

δ C = 4 - 0,249 ⋅ F C

Passo 5

Agora temos as seguintes equações:

F A = 0,75 ⋅ F C

δ C = 4 - 0,249 ⋅ F C

δ A = 1,33 ⋅ δ C

δ A = 0,2 ⋅ F A

4 equações e 4 incógnitas, a partir de agora é pura álgebra =) ou =( kkk

Vamos lá! Na letra A o problema pede a tração em cada barra, ou seja, F A e F C .

Das duas equações

δ A = 1,33 ⋅ δ C

δ C = 4 - 0,249 ⋅ F C

Vamos substituir δ C na primeira equação

δ A = 1,33 ⋅ ( 4 - 0,249 ⋅ F C )

δ A = 5,32 - 0,331 ⋅ F C

Como

δ A = 0,2 ⋅ F A

Vamos ter

0,2 ⋅ F A = 5,32 - 0,331 ⋅ F C

E como

F A = 0,75 ⋅ F C

Acabamos com

0,2 ⋅ ( 0,75 ⋅ F C ) = 5,32 - 0,331 ⋅ F C

0,15 ⋅ F C = 5,32 - 0,331 ⋅ F C

0,15 + 0,331 ⋅ F C = 5,32

0,481 ⋅ F C = 5,32

F C = 5,32 0,481

F C = 11,06   k N

E

F A = 0,75 ⋅ F C

F A = 0,75 ⋅ 11,06  

F A = 8,3   k N

Passo 6

Para achar a deflexão basta substituir em

δ A = 0,2 ⋅ F A

δ A = 0,2 ⋅ 8,3  

δ A = 1,66   m m

Resposta

a)

F C = 11,06   k N

F A = 8,3   k N

b)

δ A = 1,66   m m

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