Enunciado

Cada pneu no carro de 1350   k g pode suportar uma força de atrito máxima paralela à superfície da estrada de 2500   N . Esta força limite é aproximadamente constante durante todos os movimentos retilíneos e curvilíneos possíveis do carro e é alcançavel somente se o carro não derrapa. Sob esta frenagem máxima, determine a distância total de parada s se os freios são acionados pela primeira vez no ponto A quando a velocidade do carro é de 25   m / s e se o carro segue a linha central da estrada.

Passo 1

Vamos começar calculando qual é a frenangem máxima. Pela segunda lei de Newton:

F = - m a '

2500 = - ( 1350 ) ( a ' )

a ' = - 1,851 m / s 2

Mas essa é a aceleração que cada pneu suporta, para um carro de quatro pneus temos:

a = 4 a ' = - 7,407   m / s 2

E então podemos calcular a velocidade com que o carro “entra” na curva:

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ s

v 2 = 25 2 + 2 - 7,407 10

v = 21,84   m / s

Passo 2

A partir do momento que o carro entra na curva temos que considerar a aceleração centrípeta no cálculo da aceleração total sobre os pneus:

a t o t = a t 2 + v 2 r 2

a t o t = a t 2 + v 2 r 2

a t 2 = a t o t 2 - v 2 r 2

E como estamos lidando com frenagem:

a t = - a t o t 2 - v 2 r 2

E nosso objetivo é saber quanto o carro anda até para parar quando sofre essa desaceleração:

a t = v d v d s

- a t o t 2 - v 2 r 2   d s = v   d v

E vamos integrar isso sabendo que a velocidade vai de v 0 = 21,84   m / s até 0 , e a distância vai de s = 10   m até um s que queremos descobrir:

- ∫ 10 s   d s = ∫ v 0 0 v a t o t 2 - v 2 r 2   d v

∫ 10 s   d s = - r ∫ v 0 0 v a t o t 2 r 2 - v 4   d v

Passo 3

E agora precisamos calcular essa integral:

s - 10 = - r ∫ v 0 0 v a t o t 2 r 2 - v 4   d v

E vamos fazer uma substituição:

u = v 2         ⇒           d u = 2   v   d v

10 - s = r 2 ∫ v 0 0 d u a t o t 2 r 2 - u 2  

E agora podemos consultar a tabela de integrais no final do livro:

∫ d x a 2 - x 2 = arcsen ⁡ x a

E então:

10 - s = r 2 arcsen ⁡ ( 0 - arcsen ⁡ v 0 2 a t o t r

s = 10 + r 2 arcsen ⁡ v 0 2 a t o t r

E agora é só substituir os valores numéricos:

s = 10 + ( 80 ) 2 arcsen ⁡ 21,84 2 ( 80 ) ( 7,407 )

s = 47,4   m

Resposta

A distância total de parada é s = 47,4   m .

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