Enunciado

Cada um dos três elementos finos tem massa m . Determine o momento de inércia do conjunto em relação a um eixo perpendicular à página e que passa pelo ponto central O .

Passo 1

E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!

Precisamos calcular o momento de inércia de massa do conjunto em relação ao eixo que passa por O , que é o centro de massa do triângulo equilátero.

Por definição, o momento de inércia de uma haste em relação ao eixo perpendicular ao plano e que passa pelo seu centro de massa é dado por:

I = m L 2 12

Só que nós queremos em relação ao ponto O . Por causa disto, precisamos utilizar o teorema dos eixos paralelos, que nos diz que:

I = I G + m d 2

Sendo I G o momento de inércia que passa pelo centro de massa da peça, I o momento de inércia que queremos e d a distância entre os dois eixos.

Calculado o valor para cada uma das barras, basta somarmos o valor que assim teremos o momento de inércia do sistema.

Passo 2

Então, precisamos começar identificando a distância das hastes até o ponto O . Por definição, as distâncias das hastes ao ponto O são iguais entre si e expressas por:

d = a cos ⁡ 30 ° = a 3 2

Então, o momento de inércia de uma haste em relação ao ponto O é:

I O = m L 2 12 + m a 3 2 2

I O = m L 2 + 9 a 2 12

E por fim, como temos 3 hastes, o momento de inércia do sistema será:

I s i s t e m a = 3 I O = m L 2 + 9 a 2 4

E assim finalizamos a questão!

Resposta

I s i s t e m a = m L 2 + 9 a 2 4

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