Enunciado

A haste uniforme A B tem massa de 50   k g . Se as duas molas D E e B C não estão deformadas quando θ = 90 ° , determine o ângulo θ para haver equilíbrio usando o princípio da energia potencial. Investigue a estabilidade na posição de equilíbrio. As duas molas sempre permanecem na posição horizontal, em virtude das guias de rolete em C e E .

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar o ângulo θ necessário para que o corpo esteja em equilíbrio e, posteriormente, avaliar a estabilidade para essa posição. Considerando que as molas têm rigidez k 1 = 350   N / m e k 2 = 700   N / m e que elas permanecem sempre na posição horizontal.

Então bora lá! Para resolver esse problema, vamos começar analisando o diagrama de corpo livre:

As distâncias x 1 , x 2 e h são dadas por:

h = 1,5 sen ⁡ θ

x 1 = 1 cos ⁡ θ

x 2 = 3 cos ⁡ θ

E o peso W do bloco A :

W = 50 * 9,81

W = 490,5   N

Passo 2

Show de bola! Vamos começar então formulando a equação da energia potencial V desse sistema. Como temos atuando apenas o peso da haste e as forças exercidas pelas molas, a energia potencial do sistema é dada por:

V = V g + V s

V = W h + 1 2 k 1 x 1 2 + 1 2 k 2 x 2 2

V = 490,5 * 1,5 sen ⁡ θ + 1 2 350 cos ⁡ θ 2 + 1 2 700 3 cos ⁡ θ 2

V = 735,75 sen ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ 175 + 3150

V = 3325 cos 2 ⁡ θ + 735,75 sen ⁡ θ

Passo 3

Beleza, agora que nós temos a equação da energia potencial do sistema, para analisar o equilíbrio do corpo, podemos simplesmente fazer a derivada de V em relação a θ e o resultado deve ser zero. Ou seja:

d V d θ = 0

d d θ 3325 cos 2 ⁡ θ + 735,75 sen ⁡ θ = 0

- 6650 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 735,75 cos ⁡ θ = 0

cos ⁡ θ 735,75 - 6650 sen ⁡ θ = 0

Daqui já temos que θ 1 = 90 ° , pois cos ⁡ 90 ° = 0 . Continuando resolvendo a equação:

735,75 - 6650 sen ⁡ θ = 0

6650 sen ⁡ θ = 735,75

sen ⁡ θ = 735,75 6650

θ 2 = sen - 1 ⁡ 735,75 6650

θ 2 = 6,352 °

Passo 4

Até aqui tudo certo? Nós determinamos os valores de θ para os quais a estrutura está em equilíbrio. Para determinar a estabilidade do corpo, por sua vez, precisamos analisar derivada de segunda ordem da equação da energia potencial em relação a θ .

d 2 V d θ 2 = d 2 d θ 2 3325 cos 2 ⁡ θ + 735,75 sen ⁡ θ

d 2 V d θ 2 = d d θ - 6650 sen ⁡ θ cos ⁡ θ + 735,75 cos ⁡ θ

d 2 V d θ 2 = - 735,75 sen ⁡ θ - 6650 cos ⁡ 2 θ

Neste caso existem três possibilidades:

d 2 V d θ 2 < 0 :   e q u i l í b r i o   i n s t a v e l d 2 V d θ 2 = 0 : e q u i l í b r i o   n e u t r o   d 2 V d θ 2 > 0 : e q u i l í b r i o   e s t a v e l

Para a posição de equilíbrio com θ 1 = 90 ° :

d 2 V d θ 2 = - 735,75 sen ⁡ 90 ° - 6650 cos ⁡ 2 * 90 °

d 2 V d θ 2 = 5914,25 > 0

Logo, para θ 1 = 90 ° a estrutura está em equilíbrio e está estável.

Já para a posição de equilíbrio com θ 2 = 6,352 ° :

d 2 V d θ 2 = = - 176,58 sen ⁡ 6,352 ° - 303,75 cos ⁡ 2 * 6,352 °

d 2 V d θ 2 = - 6568,6 < 0

Logo, para θ 2 = 6,352 ° a estrutura está em equilíbrio mas não está estável

É isso, galera. Até que foi de boa né?

Partiu pra próxima!

Resposta

θ 1 = 90 ° : e m   e q u i l i b r i o   e   e s t a v e l

θ 2 = 6,352 ° : e m   e q u i l i b r i o   m a s   i n s t a v e l

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A força P de intensidade 240 N é aplicada na ponta E do cabo CDE que passa por uma polia D e é fixado ao mecanismo em C. Desprezando o peso do mecanismo e o raio da polia, determine o valor de θ corre
A posição da manivela ABC é controlada pelo cilindro hidráulico BD. Para o carregamento mostrado na figura, (a) expresse a força exercido pelo cilindro hidráulico no pino B em função do comprimento BD
Resolva o problema 10.39 considerando que P=350 N , l = 250m m e K = 12,5N ⋅ m / r a d . Obtenha as respostas para cada um dos seguintes quadrantes: 0θ90 ° ,27 0 °θ36 0 ° , 36 0 °θ45 0 ° .
A posição da manivela ABC é controlada pelo cilindro hidráulico BD. Para o carregamento mostrado na figura, determine a força exercidad pelo cilindro hidráulico no pino B, sabendo que θ = 65 ° .
A posição da manivela ABC é controlada pelo cilindro hidráulico CD. Para o carregamento mostrado na figura, determine a força exercida pelo cilindro hidráulico no pino C quando θ = 55 ° .