Enunciado

O caixote de 10 Mg é abaixado para uma câmara de armazenamento subterrânea em um elevador de dois parafusos projetado como mostrado. Cada parafuso tem uma massa de 0,9 Mg, um diâmetro médio de 120 mm e uma rosca quadrada simples com um passo de 11 mm. Os parafusos são girados em sincronismo por uma unidade motorizada na base do dispositivo. Toda massa do caixote, dos parafusos e da plataforma de 3 Mg do elevador é sustentada uniformemente por mancais radiais planos em A , cada um tendo um diâmetro externo de 250 mm e interno de 125 mm. A pressão nos mancais é considerada uniforme sobre toda a superfície dos mancais. Se o coeficiente de atrito para os mancais radiais e os parafusos em B

Vale 0,15, calcule o torque M que deve ser aplicado a cada parafuso ( a ) para suspender o elevador e ( b ) para abaixar o elevador.

Passo 1

Primeiro queremos o momento necessário para levantar os parafusos. De acordo com a fórmula 6/3 do livro texto, se temos uma força axial (na direção do eixo) W aplicada no parafuso para desparafusar, o momento que deve ser aplicado para girar o parafuso é então:

M 1 = W r tan ⁡ ( α + ϕ )

Sendo α o ângulo que a rosca do parafuso faz com a horizontal e ϕ o ângulo de atrito. Se quisermos abaixar o parafuso, a fórmula para o momento necessário aplicado é:

M 2 = W r tan ⁡ ( ϕ - α )

Além do momento que deve ser aplicado para girar o parafuso, também existe um momento M a t que deve ser feito para se opor ao atrito no mancal radial. Como a pressão é constante, o momento necessário é dado pela fórmula:

M a t = 2 3 μ P R o 3 - R i 3 R o 2 - R i 2

Sendo P a força normal total aplicada no mancal. O momento total para levantar o parafuso será então:

M 1 + M a t = W r tan ⁡ ( α + ϕ ) + 2 3 μ P R o 3 - R i 3 R o 2 - R i 2

E o momento para abaixar será:

M 2 + M a t = W r tan ⁡ ( ϕ - α ) + 2 3 μ P R o 3 - R i 3 R o 2 - R i 2

Passo 2

Vamos calcular os ângulos α e ϕ . O ângulo α pode ser calculado colocando uma parte da rosca que completa uma volta inteira no parafuso em um plano vertical. A distância vertical entre um extremo e outro será o passo L = 11 mm e a distância horizontal será a circunferência do parafuso, 2 π R = 2 π × 60 = 120 π mm:

Então achamos α através de sua tangente:

tan ⁡ α = L 2 π R = 11 120 π = 0,0292

α = arctg ⁡ 0,292 = 1,671 °

O ângulo de atrito ϕ é calculado através do coeficiente de atrito, pela fórmula:

tan ⁡ ϕ = μ = 0,15

⇒ μ = arctg ⁡ 0,15 = 8,53 °

Passo 3

Agora vamos calcular o momento feito para se opor ao atrito no mancal. O raio maior do mancal é R o = 250 2 = 125 mm e o raio menor é R i = 125 2 = 62,5 mm. A força P aplicada em cada mancal é a força que suporta o peso do para fuso e de metade do peso da prateleira e da caixa:

P = 0,9 + 13 2 9,81 = 72,59   M g = 7,259 × 10 4   k g

Então aplicamos a fórmula:

M a t = 2 3 μ P R o 3 - R i 3 R o 2 - R i 2 = 2 3 0,15 7,259 × 10 4 0,125 3 - 0,0625 3 0,125 2 - 0,0625 2 = 1059   N ⋅ m

Passo 4

Agora vamos calcular o momento necessário para levantar o parafuso:

M 1 = W r tan ⁡ ( α + ϕ )

A força W aplicada em cada parafuso é a força necessária para levantar a prateleira e a caixa, dividida por 2:

W = 13 × 9,81 2 = 63,77   M g = 6,377 × 10 4   k g

⇒ M 1 = 6,377 × 10 4 60 × 10 - 3 tan ⁡ 1,671 ° + 8,53 °  

= 689   N ⋅ m

Então o momento necessário para levantar o parafuso é:

M a = 1059 + 689 = 1748   N ⋅ m

Passo 5

Finalmente calculamos o momento necessário pra abaixar o parafuso:

M 2 = W r tan ⁡ ( ϕ - θ )

M 2 = 6,377 × 10 4 60 × 10 - 3 tan ⁡ 8,53 ° - 1,671 ° = 460   N ⋅ m

Então o momento necessário para descer o parafuso é:

M b = 1059 + 460 = 1519   N ⋅ m

Resposta

a   M = 1748   N ⋅ m

b M = 1519   N ⋅ m

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