Enunciado

A lança O A está sendo elevada pelo arranjo de cabo e polia mostrado. Se o ponto B no cabo recebe uma velocidade constante v B = 3,2   m / s , determine a velocidade angular ω e a aceleração angular da lança para θ = 30 ° .

Passo 1

Vamos chamar de s a distância entre o ponto A e aquele ponto fixado na altura de 6   m .

Perceba que a corda do ponto B está ligada ao ponto A por uma polia fixa e duas móveis. A polia fixa simplesmente transmite o movimento, mas nós sabemos que cada uma das duas polias móveis “divide o deslocamente por dois”:

d s A = 1 4 d s B

E podemos dividir tudo por d t para encontrar:

v A = 1 4 v B

v A = 1 4   v B = 1 4 3,2 = 0,8   m / s

E a velocidade v A é o negativo da derivada temporal do comprimento s :

s ˙ = - 0,8   m / s

Mas nosso objetivo é encontrar θ ˙ e θ ¨ , então precisamos procurar mais relações.

Passo 2

Olhando para o triângulo que desenhamos, vamos aplicar a lei dos cossenos:

s 2 = 6 2 + 10 2 - 2 6 10 cos ⁡ ( 90 ° - θ )

s 2 = 136 - 120 sen ⁡ θ

E agora podemos derivar em relação ao tempo:

2 s s ˙ = - 120 θ ˙ cos ⁡ θ

θ ˙ = - 2 s s ˙ ( 120 ) ( cos ⁡ θ )

E derivando pela segunda vez:

2 s ˙ 2 + 2 s s ¨ = 120 θ ˙ 2 sen ⁡ θ - 120 θ ¨ cos ⁡ θ

Mas como a velocidade v B é constante, podemos garantir que s ¨ = 0 .

θ ¨ = - 2 s ˙ 2 - 120 ( θ ˙ 2 ) ( sen ⁡ θ ) ( 120 ) ( cos ⁡ θ )

Agora podemos substituir para encontrar os valores.

Passo 3

Vamos usar θ = 30 ° , s ˙ = 0,8   m / s , então a velocidade angular é:

θ ˙ = - 2 s s ˙ 120 cos ⁡ θ = - 2 136 - 120 sen ⁡ 30 ° - 0,8 ( 120 ) ( cos ⁡ 30 ° )

θ ˙ = ω = 0,134   r a d / s

E agora para a aceleração angular:

θ ¨ = - 2 ( - 0,8 ) 2 - 120 0,134 2 ( sen ⁡ 30 ° ) ( 120 ) ( cos ⁡ 30 ° )

θ ¨ = α = - 0,00195   r a d / s 2

Resposta

A velocidade angular é ω = 0,134   r a d / s e a aceleração angular é α = - 0,00195   r a d / s 2 .

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