Enunciado

Um canhão se localiza sobre uma elevação de altura h sobre o vale de um rio. Se a velocidade de disparo na boca do canhão é v0, determine a expressão para o alcance em função do ângulo de elevação da arma. Resolva numericamente para o alcance máximo no vale para uma determinada altura h e v0.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de mecânica Newtoniana.

Para responder ao questionamento do enunciado, é interessante termos um diagrama da problemática apresentada:

Onde R é o alcance (Range).

Usando a origem como ponto inicial do movimento, temos que as equações para o movimento x e y são:

x = v 0 cos ⁡ θ t   e   y = v 0 s e n   θ t - 1 2 g t 2

Chamando de τ o instante em que o projétil cai no fundo do vale. A equação y dá então:

- h = v 0 s e n   θ τ - 1 2 g τ 2 = > 1 2 g τ 2 - v 0 s e n   θ τ - h = 0

Uando a solução para uma equação quadrática (Bháskara), teremos que:

τ = v 0 s e n   θ ± v 0 s e n   θ 2 - 4 ∙ 1 2 g ∙ - h 2 ∙ 1 2 g = v 0 s e n   θ ± v 0 2 s e n 2   θ + 2 g h g

Reescrevendo teremos:

τ = v 0 s e n   θ ± v 0 2 s e n 2   θ v 0 2 + 2 g h v 0 2 v 0 2 g = v 0 s e n   θ ± v 0 s e n 2   θ + 2 g h v 0 2 g =

= v 0 g s e n   θ ± s e n 2   θ + 2 g h v 0 2

Denominando 2gh/v02 de x2, teremos:

τ = v 0 g s e n   θ ± s e n 2   θ + x 2

Substituindo τ em t na equação de x, usando o sinal de soma, teremos:

R = v 0 cos ⁡ θ ∙ v 0 g s e n   θ + s e n 2   θ + x 2 = v 0 2 cos ⁡ θ g s e n   θ + s e n 2   θ + x 2

Passo 2

Para maximizarmos o alcance R, devemos fazer:

d R d θ = 0 = > cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ - s e n   θ s e n 2 θ + x 2 + s e n   θ cos 2 ⁡ θ s e n 2 θ + x 2 = 0

Embora possa dar x = x(θ), a equação acima não pode ser resolvida para dar θ = θ(x) em termos das funções elementares. O θ ótimo para um dado x é plotado a seguir, juntamente com seu respectivo intervalo em unidades de v02/g. Observe que se x = 0, entre outras coisas corresponde a h = 0, e dá o resultado familiar θ = 45° e R = v02/g.

Resposta

Ver passo a passo.

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