Enunciado

Inclua a resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade da bola no problema anterior. Considere o coeficiente de arrasto como sendo c w = 0,5 , o raio da bola igual a 5   c m e sua massa 200   g . (a) Determine a velocidade inicial da bola necessária para ultrapssar a cerca agora. (b) Para essa velocidade, determine o ângulo de elevaçáo inicial que permite que a bola ultrapasse a cerca com maior facilidade. Nessa nova situação, em quanto a bola ultrapassará a cerca?

Passo 1

E aí galera, vamos iniciar mais uma questão do nosso livro!

Letra (a)

Bem galerinha, primeiramente temos que a expressão de Prandtl para a resistência do ar é dada por:

W = 1 2 c w ρ A v 2

Onde c w é o coeficiente de arrasto adimensional, ρ é a densidade do ar, v é a velocidade e A é a área da seção transversal do objeto medida perpendicularmente à velocidade. A força está sempre na direção oposta da velocidade, então tem a direção do vetor unitário -   V / v , isso é:

W = 1 2 c w ρ A v 2 ( - V v )

= - 1 2 c w ρ A v V

Mas:

v = x 2 ˙ + y 2 ˙  

V = x   ˙ i + y   ˙ j  

Então:

W = - 1 2 c w ρ A x 2 ˙ + y 2 ˙ ( x   ˙ i + y   ˙ j   )

Podemos assim, dividir as forças em duas partes, sendo nas direções x e y como:

W x = - 1 2 c w ρ A x   ˙ x 2 ˙ + y 2 ˙

W y = - 1 2 c w ρ A y   ˙ x 2 ˙ + y 2 ˙

Agora definimos a força total no projetil igual a m a , como:

F = m a = m ( x ¨   i + y ¨   j   )

Podemos dividir a força em duas partes, obtendo:

F x = m x ¨

F y = m y ¨

Passo 2

Continuando, temos que a força resultante na direção x é igual à força de resistência do ar, e a força resultante na direção y é igual à força da gravidade subtraída da força de resistência do ar na direção y , ou seja:

W x = m x ¨

W y - g = m y ¨

Substituindo os valores de W x   e   W y , temos:

- 1 2 c w ρ A x   ˙ x 2 ˙ + y 2 ˙ = m x ¨

- 1 2 c w ρ A y   ˙ x 2 ˙ + y 2 ˙ = m y ¨

Reorganizando as equações como:

x ¨ = - b x ˙ x 2 ˙ + y 2 ˙

y ¨ = - b y ˙ x 2 ˙ + y 2 ˙ - g

precisamos resolver essas duas equações numericamente, basicamente definimos um valor inicial para v 0 sendo 30   m / s , então encontramos os valores de x e y numericamente. O procedimento é o seguinte:

  • Utilizaremos uma velocidade inicial;
  • A partir desta velocidade podemos encontrar a próxima velocidade;
  • Multiplicando a aceleração ( x ¨   e   y ¨ ) por um pequeno intervalo de tempo d t ;
  • Finalmente multiplicamos as velocidades x ˙ e y ˙ por d t e adicione-o à posição anterior;
  • Checar se x = 60   m e y = 2,0   m ao mesmo tempo.

Utilizando um software em python para fazer isso e o código é ilustrado na imagem a seguir, velocidade inicial que permite que a bola passe pela cerca é:

v 0 = 35,2   m / s

Obtemos o gráfico:

Passo 3

Letra (b)

Agora a velocidade inicial é fixada em v 0 = 35,2   m / s , precisamos encontrar o ângulo de elevação que dá à bola uma altura máxima acima da cerca ( max ⁡ y - y f onde y f = 2,0 é a altura da cerca), seguimos o mesmo método na parte (a), mas em vez disso definimos um valor inicial de θ sendo 30 ° , em seguida, aumente o ângulo até obter a altura máxima. Nós temos:

θ = 40,7 °

e a trajetória é mostrada na figura a seguir. E a bola agora passa pela cerca:

Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

Letra (a)

v 0 = 35,2   m / s

Letra (b)

θ = 40,7 °

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