Enunciado

Inclua a resistência do ar para os fardos de feno no problema anterior. Um fardo de feno tem massa aproximada de 30   k g e área de cerca de 0,2   m 2 . Considere a resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade e faça c w = 0,8 . Faça um gráfico das trajetórias no computador se os fardos de feno aterrissarem atrás dos animais. Para os casos com e sem resistência do ar. Se os fardos de feno fossem lançados ao mesmo tempo nos dois casos, qual seria a distância entre suas posições de aterrissagem?

Passo 1

E aí galera, vamos iniciar mais uma questão do nosso livro!

Bem galerinha, primeiramente temos que a expressão de Prandtl para a resistência do ar é dada por:

W = 1 2 c w ρ A v 2

Onde c w é o coeficiente de arrasto adimensional, ρ é a densidade do ar, v é a velocidade e A é a área da seção transversal do objeto medida perpendicularmente à velocidade. A força está sempre na direção oposta da velocidade, então tem a direção do vetor unitário -   V / v , isso é:

W = 1 2 c w ρ A v 2 ( - V v )

= - 1 2 c w ρ A v V

Mas:

v = x 2 ˙ + y 2 ˙  

V = x   ˙ i + y   ˙ j  

Então:

W = - 1 2 c w ρ A x 2 ˙ + y 2 ˙ ( x   ˙ i + y   ˙ j   )

Podemos assim, dividir as forças em duas partes, sendo nas direções x e y como:

W x = - 1 2 c w ρ A x   ˙ x 2 ˙ + y 2 ˙

W y = - 1 2 c w ρ A y   ˙ x 2 ˙ + y 2 ˙

Agora definimos a força total no projetil igual a m a , como:

F = m a = m ( x ¨   i + y ¨   j   )

Podemos dividir a força em duas partes, obtendo:

F x = m x ¨

F y = m y ¨

Passo 2

Continuando, temos que a força resultante na direção x é igual à força de resistência do ar, e a força resultante na direção y é igual à força da gravidade subtraída da força de resistência do ar na direção y , ou seja:

W x = m x ¨

W y - g = m y ¨

Substituindo os valores de W x   e   W y , temos:

- 1 2 c w ρ A x   ˙ x 2 ˙ + y 2 ˙ = m x ¨

- 1 2 c w ρ A y   ˙ x 2 ˙ + y 2 ˙ = m y ¨

Reorganizando as equações como:

x ¨ = - b x ˙ x 2 ˙ + y 2 ˙

y ¨ = - b y ˙ x 2 ˙ + y 2 ˙ - g

Onde b = c w ρ A / 2 m . Agora precisamos traçar essas funções, com condições iniciais de x ˙ = 160   k m / h = 44,4 m / s , y ˙ = 0 , x i = - 210   m e y i = 8 0   m . O procedimento será o seguinte:

  • Encontre a velocidade para os valores iniciais x ˙ + y ˙
  • A partir desta velocidade podemos encontrar a próxima velocidade.
  • Multiplicando a aceleração ( x ¨   e   y ¨ ) por um pequeno intervalo de tempo d t
  • Finalmente multiplicamos as velocidades x ˙ e y ˙ por d t e adicione-o à posição anterior.

Utilizando um software em python para fazer isso e o código é ilustrado na imagem a seguir:

Passo 3

Em seguida plotamos o gráfico resultante do código:

O laranja está com a resistência do ar, e o azul está sem. A distância entre eles em y = 0 é:

∆ x = - 30,44 m - - 62,36   m = 31,9   m

∆ x = 31,9   m

Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

∆ x = 31,9   m

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