Enunciado

O carregamento distribuído é sustentado pelas três barras de suspensão. A B e E F são feitas de alumínio e   C D é feita de aço. Se cada barra tiver área de seção transversal de 450   mm 2 , determine a intensidade máxima w do carregamento distribuído de modo a não ultrapassar uma tensão admissível de σ a d m a ç o = 180   MPa no aço e σ a d m a l = 94   MPa no alumínio. E a ç o = 200   GPa , E a l = 70   GPa .

Passo 1

Três barras estão sustentando um carregamento. Há materiais diferentes envolvidos que irão falhar se a tensão das barras for muito alta. Organize primeiro tudo que sabe.

Características das barras A B   e   E F :

  • Alumínio: E a l = 70   GPa , σ a d m a l = 94   MPa .
  • Área transversal: A = 450   mm 2 .
  • Comprimento inicial: L = 2   m .
  • Características da barra C D :

  • Aço: E a ç o = 200   GPa , σ a d m a ç o = 180   MPa .
  • Área transversal: A = 450   mm 2 .
  • Comprimento inicial: L = 2   m .

O carregamento é distribuído linearmente ao longo de 3   m . O que significa que a força equivalente (concentrada) que o carregamento provoca é 3 w . Essa força atua no centro de massa: o ponto C

Nós queremos achar o valor máximo que w pode assumir. O que limita nesse problema é que σ a l tem que ser no máximo 94   MPa e σ a ç o tem que ser no máximo 180   MPa .

Passo 2

Monte o diagrama de corpo livre e cheque as condições de equilíbrio.

Equilíbrio de momentos ao redor do ponto C :

∑ M C = 0 → -   1,5   F A B + 1,5   F E F → F A B = F E F

Beleza, então pra simplificar daqui pra frente, vamos dizer que F a l = F A B = F E F e F a ç o = F C D .

Equilíbrio de forças:

∑ F = 0 → 2 F a l + F a ç o =   3 w

Estamos preocupados com as tensões máximas. Aplique a fórmula da tensão σ = F / A para trabalharmos direto com isso!

2 σ a l   A +   σ a ç o   A = 3 w

Precisamos de uma relação entre as tensões!

Passo 3

Quando uma das barras de alumínio esticar δ a l , o comprimento δ a ç o que a barra de aço aumenta tem que ser o mesmo. A condição de compatibilidade é:

δ a l =   δ a ç o

Use a fórmula da relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

F a l   L A   E a l = F a ç o   L A   E a ç o

Use a fórmula da tensão na equação acima:

σ = F A

Daí já sai logo a relação que queremos:

σ a l E a l = σ a ç o E a ç o → σ a l = 0,35 σ a ç o

Passo 4

Agora precisamos determinar qual barra (material) falha primeiro. Confira pela última relação.

Caso 1: usando σ a ç o = σ a d m a ç o = 180   MPa teríamos σ a l = 63   MPa <   σ a d m a l . OK!

Caso 2: usando σ a l = σ a d m a l = 94   MPa teríamos σ a ç o = 268,57   MPa >   σ a d m a ç o . Não!

Só o Caso 1 é possível, senão a barra de aço falha.

Passo 5

Aplique σ a l = 0,35 σ a ç o em 2 σ a l   A +   σ a ç o   A = 3 w , encontrando

w = 1,7 σ a ç o   A 3  

Substitua σ a ç o = 180   MPa e A = 450   mm 2 para acabar

w m a x = 45,90   kN/m

Resposta

Intensidade máxima da carga distribuída: w m a x = 45,90   kN/ m .

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