Enunciado

O carretel gira sobre seu cubo subindo o cabo interno A enquanto a placa compensadora B puxa os cabos externos para baixo. Os três cabos estão firmemente enrolados em torno de suas respectivas periferias e não deslizam. Se, no instante representado, B tiver se deslocado para baixo uma distância de 1600   m m a partir do repouso com uma aceleração constante de 0,2   m / s 2 , determine a velocidade do ponto C e a aceleração do centro O para esse instante em particular.

Passo 1

Sabemos que B se desloca para baixo a partir do repouso, com aceleração constante a = 0,2   m / s 2 , isso quer dizer que a velocidade v B ao final do movimento é:

v B 2 = v 0 2 + 2 a s B

Como ele parte do repouso, temos v 0 = 0 , e:

v B = 2 a s B

Como s B = 1600   m m = 1,6   m e a = 0,2   m / s 2 , podemos substituir para calcular:

v B = 2 0,2 1,6 = 0,64 = 0,8   m / s

Agora precisamos descobrir como essa velocidade se relaciona com a dos outros pontos.

Passo 2

Vamos usar o método de inspeção de um deslocamento diferencial. Em outras palavras, vamos considerar um pequeno deslocamento d s B e ver o que acontece no sistema.

(O desenho está bem fora de escala, para facilitar a visuaização)

E traçamos aquela reta azul de forma que cruze a reta horizontal preta no ponto fixo em torno do qual nosso sistema gira.

Agora podemos extrair algumas relações do nosso desenho. Usando semelhança de triângulos:

d s B 0,16 = d s O 0,04 = d s C 0,24

Em cada caso dividimos um deslocamento diferencial pela sua distância até o ponto fixo do movimento.

Passo 3

Vamos começar determinando a velocidade do ponto C . Pela relação que escrevemos ali em cima:

d s C = 24 16 d s B

Dividindo tudo por d t ficamos com:

d s C d t = 3 2 d s B d t

v C = 3 2 v B = 3 2 0,8 = 1,2   m / s

Passo 4

Agora vamos procurar a aceleração do ponto O . Mais uma vez, pela relação que escrevemos a partir do desenho:

d s O = 4 16 d s B

Podemos dividir tudo por d t :

v O = 1 4 v B

E derivando em relação ao tempo:

a O = 1 4 a B

E a aceleração a B já foi dada no enunciado:

a O = 1 4 0,2 = 0,05   m / s 2

E tanto a O quando v C apontam no sentido vertical para cima, da forma como representamos no desenho.

Resposta

A velocidade do ponto C é v C = 1,2   m / s e a aceleração do ponto O é a O = 0,05   m / s 2 . Ambas são verticais para cima.

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