Enunciado

O carrinho de 10   k g está parado no instante de tempo t = 0 e posteriormente é submetido à força senoidal F = b + 45 s e n ( 6 t ) , onde F e b são expressos em newtons e o tempo t é expresso em segundos. (a) Se b = 22   N , determine a velocidade v do carrinho em 1,5   s . (b) Determine o valor de b para o qual a velocidade do carrinho será zero após o primeiro ciclo completo de aplicação da força. Despreze o atrito.

Passo 1

Considerando que o carro parte do repouso, podemos usar o teorema do impulso para escrever a seguinte relação:

∫ ∑ F x   d t = m v

E as duas forças atuando sobre o bloco são:

F = b + 45 sen ⁡ 6 t

P x = - m g sen ⁡ 20 ° ≅ - 33,55   N

Isso quer dizer que após um intervalo de tempo Δ t = 1,5   s , a velocidade do carrinho será:

∫ 0 1,5 22 + 45 sen ⁡ 6 t d t - 33,55 1,5 = m v

22 1,5 - 45 6 cos ⁡ 6 1,5 + 45 6 cos ⁡ 6 0 - 50,325 = m v

m v = - 2,99

v ≅ - 0,299   m / s

Passo 2

Primeiro precisamos entender o que é um ciclo completo dessa força. A função seno que aparece na fórmula da força é sen ⁡ ( 6 t ) , isso quer dizer que o período da força é:

T = 2 π 6

Esse é o tempo que um ciclo completo da força leva. Se queremos que a velocidade seja 0 após esse intervalo, só precisamos retomar nossa equação de antes, mas com v = 0 , e trocando os limites de integração.

∫ 0 2 π 6 b + 45 sen ⁡ 6 t d t = 33,55 2 π 6

2 π 6 b - 45 6 cos ⁡ 2 π + 45 6 cos ⁡ 0 = 33,55 2 π 6

b ≅ 33,6   N

Resposta

(a) v = - 0,299   m / s .

(b) b = 33,6   N .

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