Enunciado

Quando o carro chega ao ponto A, ele tem velocidade escalar de 25   m / s . Se os freios são acionados, sua velocidade escalar é reduzida em a t = - 1 4 t 1 2   m / s 2 . Determine a intensidade da aceleração do carro imediatamente antes de ele chegar ao ponto C.

Passo 1

Vamos desconstruir a questão para entendermos o que precisamos calcular. O objetivo final é determinar a intensidade da aceleração do carro ao passar pelo ponto C. Para isto, precisamos determinar suas componentes tangencial e normal. Para calcularmos a componente normal, precisamos obter a velocidade do carro no ponto. E para determinarmos a velocidade, e a aceleração tangencial, precisamos obter o tempo t para que o carro saia do ponto A e chegue no ponto C. Agora chegamos no ponto chave da questão! Precisamos descobrir este tempo t !

Passo 2

Vamos começar por determinar as funções que governam a velocidade e a posição do carro. Partindo pela definição, temos:

∫ v 0 v d v = ∫ 0 t a t d t

v - v 0 = ∫ 0 t - t 1 / 2 4 d t

v - 25 = - 1 6 t 3 / 2

v = - t 3 / 2 6 + 25

Já para a posição, temos:

∫ 0 s d s = ∫ 0 t v   d t

s = ∫ 0 t - t 3 2 6 + 25   d t

s = - t 5 / 2 15 + 25 t

Agora, temos todas as funções necessárias para resolvermos a questão.

Passo 3

Para descobrirmos o tempo necessário para sair do ponto A até o ponto C, vamos utilizar a fórmula da posição. Mas, para isto, precisamos calcular antes esta distância. Sabemos então que,

s = s A B + s B C

Como s A B = 200   m , pois é um segmento reto, só nos falta obter s B C . Assumindo que este segmento é um arco de circunferência, sabemos então que:

s B C = ρ ⋅ θ

E ficamos neste questionamento de quem é θ . Este ângulo nada mais é do que os 30° na figura da questão! Sendo assim, passando para radianos (não podem esquecer deste passo de jeito nenhum!!!!!), teremos:

s B C = 250 ⋅ π 6 = 130,9 m

Portanto, o comprimento s é

s = 200 + 130,9 = 330,9   m

Passo 4

Vamos determinar agora o tempo t . Para isto, precisamos resolver a seguinte equação:

330,9 = - t 5 / 2 15 + 25 t

- t 5 / 2 15 + 25 t - 330,9 = 0

Esta não é uma equação que conseguimos resolver facilmente. Para isto, vamos utilizar algum software para nos ajudar nesta solução. Montando uma tabela para podermos descobrir o intervalo em que t se encontra, temos:

Como podemos observar na tabela acima, o valor do tempo está entre 15 e 16, e muito mais próximo de 16. Vamos montar outra tabela com variações dentro deste intervalo. Sendo assim, temos:

Na tabela acima, percebemos que a nossa solução está no intervalo de 15,9 até 15,95. Vamos assumir um valor aproximado para a solução, dizendo que t = 15,95 s , pois é o valor mais próximo de zerar a nossa equação.

Passo 5

Agora podemos calcular todos os dados que faltavam. Determinando a velocidade do carro, temos:

v = - t 3 / 2 6 + 25

v = 14,4   m / s

Já para as componentes da aceleração, temos:

a t = - t 1 2 4 = - 1   m / s 2

a n = v 2 ρ = 0,83   m / s 2

Por fim, a intensidade da aceleração do carro é:

a = a n 2 + a t 2

a = 0,83 2 + ( - 1 ) 2

a = 1,3   m / s 2

Resposta

a = 1,3   m / s 2

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