Enunciado

O carro A tanspõe uma curva de 60   m de raio a uma velocidade constante de 50   k m / h . Quando A passa na posição mostrada, o carro B está a 30   m do cruzamento e está acelerando para o sul rumo ao cruzamento na taxa 1,5   m / s ² . Determine a aceleração que A parece ter quando observado por um ocupante de B nesse instante.

Passo 1

O segredo aqui é não confiar demais na sua intuição, porque às vezes os resultados são bem inesperados. Dê uma olhada na fórmula para a aceleração relativa:

a → A / B = a → A - a → B

Onde a → A / B é a aceleraçao de A em relação a B . Vamos começar identificando os vetores das acelerações.

Como o carro A tem velocidade constante, a única aceleração atuando sobre ele é a centrípeta:

a → A = v 2 r = 13,9 2 60 = 3,2   m / s 2

E a aceleração do carro B já foi dada no enunciado:

a → B = 1,5   m / s 2

Vamos desenhar os vetores para fazer a soma!

Passo 2

Primeiro vamos colocar os vetores na figura (fora de escala):

E agora vamos organizar os vetores de forma que a soma fique mais simples de enxergar:

a → A / B = a → A - a → B

Lembrando de inverter o vetor B já que temos aquele sinal negativo.

a → A / B = a → A + ( - a → B )

Agora é só usar um pouco de geometria plana para calcular aquele vetor preto. O ângulo de 30 ° é o que foi dado na questão, e a gente pode deduduzir o ângulo α fazendo o seguinte:

α + 30 ° = 180 °         ⇒         α = 150 °

Agora é só aplicar a lei dos cossenos para calcular o módulo vetor preto a A / B :

a A / B = a A 2 + a B 2 - 2 a A a B cos ⁡ 150 °

( a A / B ) 2 = 3,2 2 + 1,5 2 - 2 3,2 1,5 cos ⁡ 150 °

a A / B ≅ 4,56   m / s 2

Passo 3

Beleza, já temos o módulo da aceleração relativa, mas cuidado! A questão pediu a “aceleração”, ou seja, temos que indicar módulo, direção e sentido.

Para especificar aquelas duas últimas, seria suficiente dizer, por exemplo, o ângulo que o vetor aceleração forma com a direção norte (conforme indicado na figura do enunciado).

Vamos usar essa figura para calcular esse ângulo:

Onde a x e a y são as componentes do vetor a → A / B :

a y = a B + a A cos ⁡ 30 ° = 1,5 + 3,2 3 2 ≅ 4,27   m / s 2

a x = a A sen ⁡ 30 ° = 3,2 1 2 ≅ 1,6   m / s 2

Agora o ângulo β é:

β = arctan ⁡ a x a y = arctan ⁡ 1,60 4,27 ≅ 20,5 °

Pronto, esse é o ângulo que o vetor faz com o sentido norte.

Resposta

A aceleração observada por um ocupante de B é de 4,56   m / s 2 a 20,5 ° noroeste.

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