Enunciado

A corrente inicia do repouso com um número suficiente de elos pendurados sobre a borda para apenas começar o movimento superando o atrito entre o restante da corrente e a superfície de apoio horizontal. Determine a velocidade v da corrente quando o último elo passa a borda. O coeficiente de atrito dinâmico é μ k . Despreze qualquer atrito na borda.

Passo 1

Vamos chamar de ρ a densidade linear dessa corrente:

ρ = M L

Quando uma porção de comprimento b está pendurada na borda a força peso que age sobre essa porção da corrente é:

P = m g = ρ b g

E o equilíbrio acontece se a força de atrito entre o restante da corrente e o plano é igual a P :

F a t = N μ = L - b ρ g μ

E então:

L - b ρ g μ = ρ b g

L - b μ = b

b = L μ ( 1 + μ )

Passo 2

Toda a energia cinética que a corrente receber terá que obedecer a essa equação:

Δ T = Δ U g - U a t

Ou seja, terá um ganho de energia vindo da energia potencial gravitacional, e uma perda para o trabalho dissipado pela força de atrito.

A força realizada sobre um trecho d x da corrente é:

d F = μ ρ g ( d x )

E então:

U a t = ∫ 0 ( L - b ) d F   x = ∫ 0 ( L - b ) μ ρ g ( d x )   x

U a t = μ ρ g L - b 2 2

Passo 3

E o ganho de energia potencial gravitacional é mais fácil de calcular, será todo devido à queda da porção da corrente que começa sobre o plano.

A massa da corrente que ainda vai cair é:

m = ρ ( L - b )

E para calcular a altura devemos pensar em quanto o centro de massa da corrente desce em relação ao plano:

h = L + b 2

E então a variação de energia potencial é:

Δ U g = g h = g ρ L - b L + b 2

E a energia cinética é mais fácil de calcular:

Δ T = 1 2 ρ L v 2

Agora vamos voltar na nossa equação para a lei de conservação de energia:

Δ T = Δ U g - U a t

1 2 ρ L v 2 = g ρ L - b L + b 2 - μ ρ g L - b 2 2

E podemos resolver essa expressão para calcular a velocidade v .

Passo 4

Multiplicando tudo por 2 e dividindo pela densidade linear:

1 2 ρ L v 2 = g ρ L - b L + b 2 - μ ρ g L - b 2 2

L v 2 = g L 2 - b 2 - μ g L - b 2

Dividindo tudo por g e por L :

v 2 g = L - b 2 L - μ L + 2 μ b - μ b 2 L

v 2 g = 1 - b L L + b - μ L - b

E agora subsituímos a expressão que tínhamos encontrado para b :

b = L μ ( 1 + μ )

v 2 g = 1 - μ ( 1 + μ ) L + L μ ( 1 + μ ) - μ L - L μ ( 1 + μ )

E agora é só simplificar:

v 2 g = 1 - μ ( 1 + μ ) L = L 1 + μ

v = g L 1 + μ

Resolvido!

Resposta

A velocidade da corrente quando o último elo passa pela borda é v = g L 1 + μ .

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