Enunciado

O casco de aço semicilíndrico com extremidades fechadas tem uma massa de 26,6 kg. Determine a massa m do lastro de chumbo que deve ser colocado na concha de modo que ele flutue em água doce em sua profundidade de meio raio de 150 mm

Passo 1

Primeiro, vamos isolar e desenhar o diagrama de corpo livre da casca de aço com o peso da casca e a esfera de chumbo e a força de flutuação atuando nela.

O peso da carcaça de aço é:

W S = m g g

Substitua a massa da casca e a gravidade por seus valores.

W S = 26.6 ⋅ 9.81 = 260.95   N

Enquanto o peso da bola de chumbo pode ser expresso como:

W B = m B g

Passo 2

Observe que a área de um círculo cortado é igual à área do setor circular menos a área da parte triangular.

A = A c . o . - A △

A partir do esboço, podemos ver que o ângulo α é:

a = a r c s i n ⁡ 150 300 = 30 ∘

E o angulo β pode ser calculado:

β = 180 ∘ - 2 α = 120 ∘

Por fim, dimensão d é:

d = 300 c o s ⁡ α d = 300 c o s ⁡ 30 ∘ = 259.81   m m

Área do setor circular é:

A c . s . = β 360 ∘ ⋅ r 2 π

A c . s . = 120 ∘ 360 ∘ ⋅ 300 2 π = 94248   m m 2

Área do triângulo:

A Δ = 150 ⋅ d A △ = 150 ⋅ 259.81 = 38972   m m 2

Substitua A △ e A c s . Por seus valores na expressão (1).

A = 94248 - 38972 = 55276   m m 2

Converta a área em m²

A = 1 1000 2 ⋅ 55276 = 0.0553 m 3

Passo 3

A força de empuxo é igual ao produto da densidade, volume e gravidade da água.

F = ρ w ⋅ V + g

Uma vez que o comprimento é 1 = 0,6 "m, o volume da concha inundada na água é:

V = l ⋅ A V = 0.6 ⋅ 0.0553 = 0.0333

substitua V e g por seus valores e ρ w por 1000   k g / m 3 na expressão para F

F = 1000 ⋅ 0.0333 ⋅ 9.81 F = 325.37   N

Equacionando a soma das forças na direção y a zero. podemos determinar o peso total W

∑   F y = 0   - W S - W B + F = 0

Substitua W S e F por seus valores e W B   por m B g

- 260.95 - m B g + 325.37 = 0

A partir daqui, podemos expressar a massa do lastro como:

m B = 325.37 - 260.95 g

substitua g por 9.81

m B = 64.42 9.81

Finalmente, a massa necessária para manter a casca na posição desejada é:

m s = 6.567   k g

Resposta

m s = 6 . 567 k g

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