Enunciado

Um comprimento de cabo com massa de 1,2 kg / m deve ter uma curvatura de 2,4 m quando suspenso dos dois pontos A e B na mesma linha horizontal de 10 m de distância. Para fins de comparação, determine o comprimento L de cabo necessário e plote sua configuração para os dois casos de (a) assumir uma forma parabólica e (b) usar o modelo catenário adequado. Para distinguir mais claramente entre os dois casos, plote também a diferença (yc - yp) como uma função de x, onde C e P referem-se a catenária e parábola, respectivamente. Use a aproximação conforme declarado nas Eqs. (5/16) e (5 / 16a) conforme necessário.

Passo 1

Para determinar o comprimento do cabo, vamos precisar das coordenadas do ponto A, peso do cabo por unidade de comprimento e o componente horizontal de tensão no cabo.

Pelo esboço, podemos ver que as coordenadas do cabo no ponto A são:

x A = 5   m

y B = 2.4   m

E que o peso do cabo é:

μ = w = 1.2 ∙ 9.81

μ = w = 11.772   N/m

Enquanto a tensão T0 é desconhecida.

Passo 2

a) forma parabólica

Observe que a função do cabo parabólico é:

y = w x 2 2 T 0                     ( P )

A partir daqui, podemos expressar T0 como:

T 0 = w x 2 2 y

Colocando as coordenadas do ponto A na equação e substituindo w por seu valor, podemos determinar o valor de T0

T 0 = 11.772 ∙ 5 2 2 ∙ 2.4 = 61.31   N

Finalmente, substitua T0 e w por seus valores na expressão (P) para obter a expressão de yp como função de x

y P = 11.772 x 2 2 ∙ 61.31                     ( P * )

Podemos determinar o comprimento do cabo diretamente usando a expressão (5 / 16a)

S P = L 1 + 8 3 h L 2 - 32 5 h L 4 + ⋯

Passo 3

Onde L é a distância horizontal entre os pontos A e B, e h é a curvatura.

L = 10   m

h = 2.4   m

Observe que, desde h L < 1 4 , os primeiros três termos da equação para S fornecerão resultados precisos.

Substitua L e h na expressão de S

S P = 10 1 + 8 3 2.4 10 2 - 32 5 2.4 10 4

S P = 11.32   m

Passo 4

b) forma catenária

Como as coordenadas do ponto A são conhecidas, podemos escrever a expressão para o comprimento do cabo do ponto A até o início do sistema de coordenadas, ou seja, o comprimento da metade do cabo.

s A = S C 2 = T 0 μ sinh ⁡ μ ∙ x A T 0

Podemos substituir μ e xA por seus valores e expressar SC como:

S C = 2 T 0 11.772 sinh ⁡ 5 ∙ 11.772 T 0                     ( 1 )

Passo 5

Observe que ainda há uma incógnita na equação acima (T0).

A função do cabo catenário é:

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1                     ( C )

Colocando as coordenadas do ponto A, e substituindo μ pelo seu valor na expressão acima, teremos apenas uma incógnita atuando na equação (T0).

2.4 = T 0 11.772 cosh ⁡ 11.772 ∙ 5 T 0 - 1

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), traçaremos a função T 0 11.772 cosh ⁡ 11.772 ∙ 5 T 0 - 1 e seu valor de leitura em f ( T 0 ) = 2.4

Resultado lido no diagrama:

T 0 = 65.545   N

Passo 6

Colocando o valor de T0 na expressão (1), vamos calcular o comprimento do cabo

S C = 2 65.545 11.772 sinh ⁡ 5 ∙ 11.772 65.545

S C = 11.40   m

E ao colocar os valores de μ e T0 na expressão (C), escreveremos a expressão de yC como função de x

y C = 65.545 11.772 cosh ⁡ 11.772 x 65.545 - 1                     C *

Finalmente, precisaremos escrever a expressão para a diferença entre yC e yP como função de x.

d = y C - y P

Substitua yC e yP por expressões (C*) e (P*)

d = 65.545 11.772 cosh ⁡ 11.772 65.545 - 1 - 11.772 x 2 2 ∙ 61.31

Passo 7

Vamos organizar a expressão acima um pouco.

d = 5.568 cosh ⁡ 0.180 x - 1 - 0.096 x 2

Finalmente, usando uma calculadora gráfica como o Desmos, vamos traçar a diferença d

Ao analisar o diagrama podemos concluir que a diferença é significativa para x > 5 m

Resposta

S P = 11.32   m

S C = 11.40   m

y C - y P = 5.568 cosh ⁡ 0.180 x - 1 - 0.096 x 2

Ao analisar o diagrama, podemos concluir que a diferença é significativa para x > 5 m

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