Enunciado

Por razões estéticas, às vezes são usadas correntes em vez de calhas em prédios pequenos, a fim de direcionar a água de escoamento do telhado da calha para o nível do solo. O arquiteto do edifício ilustrado especificou uma corrente vertical de 6 m de A a B, mas o construtor decidiu usar uma corrente de 6,1 m de A a C, conforme mostrado, a fim de colocar a água mais longe da estrutura. Em que porcentagem n o construtor aumentou a magnitude da força exercida na calha em A em relação à calculada pelo arquiteto? A corrente pesa 100 N por metro de comprimento.

Passo 1

Primeiro, desenharemos o diagrama de corpo livre do cabo. Imagine que o cabo não termina em C, em vez disso, continua até chegar ao ponto mais baixo, esse ponto será marcado como o início do sistema de coordenadas.

Olhando para o esboço, podemos ver que as coordenadas dos pontos A e C são:

C l ; h

A 1 + l ; 6 + h

E o peso por unidade de comprimento é:

μ = 100   N/m

Passo 2

A seguir, uma vez que o cabo suporta apenas seu peso, o cabo tem uma forma conhecida como catenária, então usaremos a expressão (5/19)

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1

Substitua m por seu valor e coloque as coordenadas dos pontos A e C na equação.

Ponto C:

h = T 0 100 cosh ⁡ 100 l T 0 - 1                     ( C 1 )

Ponto A:

h + 6 = T 0 100 cosh ⁡ 100 ∙ 1 + l T 0 - 1                     ( A 1 )

Observe que, subtraindo a equação (A.1) e (C.1), eliminaremos o h desconhecido.

A . 1 - C . 1                     ⇒                     6 = T 0 100 cosh ⁡ 100 ∙ 1 + l T 0 - 1 - T 0 100 cosh ⁡ 100 l T 0 - 1

⇒                     6 = T 0 100 cosh ⁡ 100 ∙ 1 + l T 0 - cosh ⁡ 100 l T 0                     ( 1 )

Passo 3

Uma vez que existem duas incógnitas figurando na equação (1), precisaremos escrever outra equação onde essas duas (l e T0) são as únicas incógnitas.

Sabemos que o comprimento do cabo do ponto A ao C é:

s A C = 6.1   m

Podemos escrever este comprimento como a diferença entre o comprimento do ponto O ao B e do ponto O ao A

s A C = s A - s C = 6.1   m                     ( 2 )

Usando a expressão (5/20), podemos escrever sA e sB como:

s C = T 0 μ sinh ⁡ μ x C T 0 = T 0 100 sinh ⁡ 100 l T 0                     ( A . 2 )

s A = T 0 μ sinh ⁡ μ x A T 0 = T 0 100 sinh ⁡ 100 ∙ 1 + l T 0                     ( B . 2 )

Passo 4

Substitua sA e sB pelas expressões (A.2) e (B.2) na equação (2)

6.1 = T 0 100 sinh ⁡ 100 ∙ 1 + l T 0 - T 0 100 sinh ⁡ 100 l T 0

6.1 = T 0 100 sinh ⁡ 100 ∙ 1 + l T 0 - sinh ⁡ 100 l T 0                     ( 2.1 )

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), traçaremos as equações (1) e (2.1) e leremos os valores de T0 e l que satisfazem ambas as equações.

Observe que você precisará ampliar o diagrama para poder ler os resultados.

Os resultados lidos no diagrama:

T 0 = 65.50   N

l = 1.07   m

Usando a expressão (5/21), podemos determinar a tensão no ponto A

T A = T 0 cosh ⁡ μ ∙ x A T 0

Passo 5

Substitua T0 e μ por seus valores e coloque as coordenadas necessárias nas expressões acima.

T A = 65.50 cosh ⁡ 100 ∙ 1.07 65.50

Finalmente, substitua l por seu valor.

T A = 65.50 cosh ⁡ 100 ∙ 1 + 1.07 65.50

⇒                     T A = 773.56   N

Agora vamos desenhar o diagrama de corpo livre do cabo vertical de 6 m de comprimento conectado nos pontos A e B.

Passo 6

Observe que, como a distância do cabo é exatamente igual à distância entre os pontos A e B, todo o peso é suportado pelo pino em A, enquanto a tensão em B é igual a zero.

T B = 0

O peso total do cabo é:

W = 6 ∙ 100 = 600   N

Passo 7

Ao igualar a soma das forças na direção y a zero, podemos determinar a força T A *

∑ F y = 0

T A * - W = 0

T A * = W

T A * = 600   N

Por fim, compararemos os resultados T A e T A * para calcular o aumento da tensão T A em porcentagem.

n = T A - T A * T A * ∙ 100 %

n = 773.56 - 600 600 ∙ 100 %

n = 28.93 %

Resposta

n = 28.93 %

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